Ограничение по времени: 1 секунда Ограничение по памяти: 256 мегабайт Антон Алексеевич, преподаватель математики в старшей школе, решил продемонстрировать практическое применение математических расчётов и провести мастер-класс по очистке квадратной маркерной доски длины п квадратной губкой длины а. Антон Алексеевич использует свой фирменный метод, затирая каждый сантиметр доски без лишних движений. Он начинает с верхнего левого угла доски, двигаясь слева направо, затем вниз, влево, вверх, повторяя этот процесс, пока вся доска не будет очищена, но не проходя губкой по тем местам, которые уже очищены (см. рисунок ниже). Губка не вращается во время стирания с доски. Гарантируется, что длина стороны губки делит длину стороны доски без остатка. Определите длину ломаной линии, которую описывает верхний левый угол квадратной губки при затирании квадратной доски.

Для решения задачи о длине ломаной линии, описываемой верхним левым углом квадратной губки при затирании квадратной маркерной доски, нам нужно понять, как именно движется губка.

Пусть длина стороны квадратной доски равна \( p \), а длина стороны губки равна \( a \). Поскольку губка идеально помещается на доске, \( p \) делится на \( a \) без остатка, что позволяет определить количество полных шагов, необходимых для затирания всей доски.

1. Определим количество полных шагов по одной стороне доски: \[ n = \frac{p}{a} \] Это количество шагов, которое губка пройдет по горизонтали и вертикали при очистке доски.

2. Теперь опишем путь, который пройдет верхний левый угол губки. Он будет перемещаться по следующему маршруту:

   • Сначала он идет вправо \( n - 1 \) раз (двигаясь по первому ряду).
   • Затем идет вниз \( n - 1 \) раз (перемещается вправо на последнюю позицию на каждом из новых рядов).
   • Далее идет влево \( n - 1 \) раз.
   • И, наконец, двигается наверх \( n - 1 \) раз.

3. На каждой стороне пути губка проходит расстояние, равное длине стороны доски, деленной на количество шагов. То есть, на каждом прямом отрезке губка делает \( a \) и \( n-1 \) правых или левых, а также вверх или вниз перемещений.

Теперь необходимо умножить количество шагов на длину каждой стороны:

• Движение вправо: \( a \times (n - 1) \)
• Движение вниз: \( a \times (n - 1) \)
• Движение влево: \( a \times (n - 1) \)
• Движение вверх: \( a \times (n - 1) \)

4. Суммируем все расстояния: \[ L = 4 \times a \times (n - 1) \]

Поскольку \( n = \frac{p}{a} \), можем подставить это значение: \[ L = 4 \times a \times \left(\frac{p}{a} - 1\right) = 4 \times (p - a) \]

Таким образом, общая длина ломаной линии, которую описывает верхний левый угол губки, равна \( 4 \times (p - a) \).