3. На дверях секретной лаборатории установлен кодовый замок. Чтобы войти в лабораторию надо набрать код трехзначное число, состоящее из трех различных цифр из десяти: 0.1.2....9.. Сколько различных вариантов набора цифр существует, если надо нажать: а) три цифры одновременно; 6) три цифры последовательно?

Чтобы решить задачу, нужно рассмотреть оба случая: нажатие трех цифр одновременно и нажатие трех цифр последовательно.

а) Три цифры одновременно:

При нажатии трех цифр одновременно порядок цифр не важен. Нужно выбрать три различные цифры из десяти (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Для выбора трех цифр мы можем использовать формулу сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где n — общее количество элементов, а k — количество выбираемых элементов. В нашем случае n = 10, k = 3.

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Таким образом, существует 120 различных вариантов набора трех цифр одновременно.

б) Три цифры последовательно:

При нажатии трех цифр последовательно порядок имеет значение. Здесь мы рассматриваем перестановки трех различных цифр из десяти. Для этого сначала выбираем три цифры, а потом упорядочиваем их.

Число способов выбрать три цифры — то же, что и в предыдущем случае, то есть 120 (как мы посчитали выше). Теперь мы должны посчитать, сколько существует порядков этих трех цифр. Это можно рассчитать как:

\[ P(n) = n! \]

где n — количество элементов, которые нужно упорядочить. В нашем случае n = 3:

\[ P(3) = 3! = 6 \]

Следовательно, общее количество различных вариантов последовательного набора трех цифр вычисляется как:

\[ C(10, 3) \times P(3) = 120 \times 6 = 720 \]

Таким образом, существует 720 различных вариантов набора трех цифр последовательно.

В итоге, ответы: а) 120 различных вариантов (три цифры одновременно). б) 720 различных вариантов (три цифры последовательно).