найдите область определения и множество значений функции y=arcsin* (2x+3)-4
Чтобы найти область определения и множество значений функции \( y = \arcsin(2x + 3) - 4 \), давайте рассмотрим каждый компонент этой функции.
Область определения: Функция \( \arcsin(x) \) определяется для аргументов в диапазоне от \(-1\) до \(1\). Это означает, что выражение \( 2x + 3 \) должно находиться между \(-1\) и \(1\):
\[ -1 \leq 2x + 3 \leq 1. \]
Теперь решим неравенства.
Первое неравенство: \[ -1 \leq 2x + 3 \] Подвигаем 3: \[ -4 \leq 2x \] Делим на 2: \[ -2 \leq x. \]
Второе неравенство: \[ 2x + 3 \leq 1 \] Подвигаем 3: \[ 2x \leq -2 \] Делим на 2: \[ x \leq -1. \]
Объединив результаты, получаем область определения: \( -2 \leq x \leq -1 \).
Множество значений: Функция \( \arcsin(x) \) принимает значения в диапазоне от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\). Поэтому, чтобы найти множество значений \( y \), подставим границы области определения в \( y \):
Когда \( x = -2 \): \[ y = \arcsin(2(-2) + 3) - 4 = \arcsin(-1) - 4 = -\frac{\pi}{2} - 4. \]
Когда \( x = -1 \): \[ y = \arcsin(2(-1) + 3) - 4 = \arcsin(1) - 4 = \frac{\pi}{2} - 4. \]
Таким образом, множество значений функции \( y \) будет от \( -\frac{\pi}{2} - 4 \) до \( \frac{\pi}{2} - 4 \).
В итоге:
- Область определения: \( [-2, -1] \)
- Множество значений: \( \left[-\frac{\pi}{2} - 4, \frac{\pi}{2} - 4\right] \)
Если есть дополнительные вопросы или если нужно разъяснение каких-либо аспектов, не стесняйтесь спрашивать!
