В компьютерный магазин привезли 15 новых игр. Сколько комбинаций покупки существует, если известно, что Миша купил 12 игр?
Чтобы определить, сколько комбинаций покупки 12 игр из 15 доступных, мы можем воспользоваться комбинаторикой. Конкретно, нам нужно вычислить количество сочетаний (или комбинаций) из 15 по 12. Формула для вычисления числа сочетаний \( C(n, k) \) выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
где \( n \) — общее количество элементов, \( k \) — количество выбираемых элементов, а \( ! \) обозначает факториал числа.
В нашем случае:
- \( n = 15 \)
- \( k = 12 \)
Мы можем упростить вычисление, так как \( C(15, 12) = C(15, 3) \) (по свойству сочетаний, где \( C(n, k) = C(n, n - k) \)).
Теперь вычислим \( C(15, 3) \):
\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3! \cdot (15 - 3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} \]
Так как \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12! \), мы можем сократить:
\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3!} \]
Теперь вычислим \( 3! \):
\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
Теперь подставим значение:
\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{6} \]
Теперь посчитаем:
- Сначала умножим: \( 15 \times 14 = 210 \)
- Затем \( 210 \times 13 = 2730 \)
- Наконец, разделим на 6: \( \frac{2730}{6} = 455 \)
Таким образом, существует 455 различных комбинаций покупки 12 игр из 15.
