(( х+1)^14×(х+3) ^2)/х-4<0
Чтобы решить неравенство
\[ \frac{(x+1)^{14} \cdot (x+3)^{2}}{x-4} < 0, \]
давайте приступим к анализу знаков.
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель равен нулю, когда \((x+1)^{14} = 0\) или \((x+3)^{2} = 0\).
- \((x+1)^{14} = 0\) при \(x = -1\).
- \((x+3)^{2} = 0\) при \(x = -3\).
Знаменатель равен нулю, когда \(x - 4 = 0\), то есть \(x = 4\).
Таким образом, критические точки (нули числителя и знаменателя) — это \(x = -3\), \(x = -1\) и \(x = 4\).
Определим интервал, в котором будем анализировать знак дроби.
Мы имеем четыре интервала, которые определяются найденными точками:
- \((-∞, -3)\)
- \((-3, -1)\)
- \((-1, 4)\)
- \((4, +∞)\)
Проверим знак на каждом интервале:
1-й интервал \((-∞, -3)\): Выберем точку, например \(x = -4\): \[ \frac{(-4+1)^{14} \cdot (-4+3)^{2}}{-4-4} = \frac{(-3)^{14} \cdot (-1)^{2}}{-8} > 0 \]
2-й интервал \((-3, -1)\): Выберем точку, например \(x = -2\): \[ \frac{(-2+1)^{14} \cdot (-2+3)^{2}}{-2-4} = \frac{(-1)^{14} \cdot (1)^{2}}{-6} < 0 \]
3-й интервал \((-1, 4)\): Выберем точку, например \(x = 0\): \[ \frac{(0+1)^{14} \cdot (0+3)^{2}}{0-4} = \frac{1^{14} \cdot 3^{2}}{-4} < 0 \]
4-й интервал \((4, +∞)\): Выберем точку, например \(x = 5\): \[ \frac{(5+1)^{14} \cdot (5+3)^{2}}{5-4} = \frac{6^{14} \cdot 8}{1} > 0 \]
Обобщим результаты:
Из анализа видно, что дробь отрицательна на интервалах \((-3, -1)\) и \((-1, 4)\).
Проверим знаки на границах:
- При \(x = -3\) и \(x = -1\) числитель равен нулю, а следовательно, дробь не может быть отрицательной.
- При \(x = 4\) знаменатель равен нулю, что также исключает его из решения.
Таким образом, решение неравенства:
\[ (-3, -1) \cup (-1, 4). \]
Это и есть все значения \(x\), при которых выполняется неравенство \(\frac{(x+1)^{14} \cdot (x+3)^{2}}{x-4} < 0\).
