Один из углов осевого сечения конуса равен 120° . Найди радиус основания конуса, если образующая равна 3√3.

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами конуса. Дадим обозначения:

• \( R \) — радиус основания конуса,
• \( h \) — высота конуса,
• \( l \) — образующая конуса, равная \( 3\sqrt{3} \),
• угол при осевом сечении равен \( 120^\circ \).

В осевом сечении конуса образуется равнобедренный треугольник, где \( l \) является одной из сторон, а угол в основании равен \( 120^\circ \).

Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), угол при вершине будет равен:

\[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \]

Теперь можем применить тригонометрию. В этом треугольнике радиус основания \( R \) и высота \( h \) соотносятся с образующей \( l \) и углом \( 60^\circ \).

По определению косинуса:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{R}{l}. \]

Мы знаем, что \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), тогда:

\[ \frac{1}{2} = \frac{R}{3\sqrt{3}}. \]

Умножим обе стороны уравнения на \( 3\sqrt{3} \):

\[ R = \frac{3\sqrt{3}}{2}. \]

Таким образом, радиус основания конуса равен \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \).