Высота цилиндра равна 12 см, площадь боковой поверхности 120 см². Вычислите площадь сечения, параллельного оси и отстоящего от нее на расстоянии 4 см.
Для решения задачи мы можем воспользоваться свойствами цилиндра и формулами, связанными с его геометрией.
Дано:
- Высота цилиндра \( h = 12 \) см.
- Площадь боковой поверхности \( S_b = 120 \) см².
- Расстояние от оси цилиндра до сечения \( d = 4 \) см.
Формула для площади боковой поверхности цилиндра: \[ S_b = 2 \pi r h \] где \( r \) — это радиус основания цилиндра.
Подставим известные значения и найдем радиус: \[ 120 = 2 \pi r \cdot 12 \] Упрощаем уравнение: \[ 120 = 24 \pi r \] Разделим обе стороны на \( 24 \pi \): \[ r = \frac{120}{24 \pi} = \frac{5}{\pi} \text{ см} \]
Площадь сечения, параллельного оси цилиндра: Площадь данного сечения будет равна площади круга с радиусом \( r' \), который равен расстоянию от оси до сечения — \( d = 4 \) см.
Площадь круга рассчитывается по формуле: \[ S = \pi r'^2 \] Подставим \( r' = 4 \) см: \[ S = \pi (4)^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi \text{ см}² \]
Таким образом, площадь сечения, параллельного оси цилиндра и отстоящее от нее на расстоянии 4 см, равна \( 16\pi \text{ см}² \) или приблизительно \( 50.27 \text{ см}² \) (если использовать \( \pi \approx 3.14 \)).
