Дан треугольник ABC , AB равно 4 см, BC равно 8 см, угол ABC 60 градусов. Найти AC, площадь треугольника ABC
Для решения задачи о треугольнике ABC, где AB = 4 см, BC = 8 см и угол ABC = 60 градусов, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения стороны AC, а затем применить формулу для расчета площади треугольника.
- Поиск стороны AC с помощью теоремы косинусов:
Формула теоремы косинусов выглядит так: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где:
- \( c \) — сторона AC, которую мы ищем,
- \( a \) = AB = 4 см,
- \( b \) = BC = 8 см,
- \( C \) = угол ABC = 60°.
Подставляем значения в формулу:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(60^\circ) \]
Значение \(\cos(60^\circ) = 0.5\).
Теперь подставим:
\[ AC^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 0.5 \] \[ AC^2 = 16 + 64 - 32 \] \[ AC^2 = 48 \]
Таким образом, находим AC:
\[ AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см} \]
- Поиск площади треугольника ABC:
Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(C) \] Подставляем известные значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) \]
Значение \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ см}^2 \]
Таким образом, длина стороны AC составляет \(4\sqrt{3} \text{ см}\), а площадь треугольника ABC равна \(8\sqrt{3} \text{ см}^2\).
