4a^-1/a^2-9:6a+3/a+3

Давайте внимательно рассмотрим выражение \( \frac{4a^{-1}}{a^2 - 9} : \frac{6a + 3}{a + 3} \) и упростим его пошагово.

1. Перепишем деление как умножение: \[ \frac{4a^{-1}}{a^2 - 9} \div \frac{6a + 3}{a + 3} = \frac{4a^{-1}}{a^2 - 9} \cdot \frac{a + 3}{6a + 3} \]

2. Упростим второй дробь: Заметим, что \( 6a + 3 = 3(2a + 1) \), поэтому: \[ \frac{a + 3}{6a + 3} = \frac{a + 3}{3(2a + 1)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a + 3}{2a + 1} \]

3. Теперь подставим это обратно в наше выражение: \[ \frac{4a^{-1}}{a^2 - 9} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{a + 3}{2a + 1} = \frac{4(a + 3)}{3a^{-1}(a^2 - 9)(2a + 1)} \]

4. Теперь разложим \( a^2 - 9 \) как разность квадратов: \[ a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) \]

5. Поставим разложение обратно в дробь: \[ \frac{4(a + 3)}{3a^{-1}((a - 3)(a + 3))(2a + 1)} \]

6. Сократим \( (a + 3) \) в числителе и знаменателе: \[ = \frac{4}{3a^{-1}(a - 3)(2a + 1)} \]

7. Упростим \( a^{-1} \): \[ = \frac{4a}{3(a - 3)(2a + 1)} \]

Итак, конечный ответ выглядит следующим образом: \[ \frac{4a}{3(a - 3)(2a + 1)} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этому, или другим математическим темам, не стесняйтесь спрашивать!