При каких значениях переменной у y² + 21 14y выражение 4y y+5 имеет смысл?

Чтобы определить, при каких значениях переменной \( y \) выражение \( 4y(y + 5) \) имеет смысл, нужно рассмотреть условия, при которых это выражение становится определённым.

1. Раскроем выражение: \[ 4y(y + 5) = 4y^2 + 20y \] Это полином, который определён для всех значений \( y \) в области действительных чисел.

2. Условия, задаваемые уравнением: Данное выражение \( y^2 + 21 - 14y \) также требует анализа. Упрощим его: \[ y^2 - 14y + 21 \]

3. Найдём корни квадратного уравнения: Используем дискриминант для уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 196 - 84 = 112 \] Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня.

   Найдём корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{112}}{2} \] \[ y = \frac{14 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{7} \]

   Таким образом, корни находятся в точках \( 7 - 2\sqrt{7} \) и \( 7 + 2\sqrt{7} \).

4. Интервалы: Теперь определим, при каких значениях функция \( y^2 - 14y + 21 \) положительна:

   • Для \( y < 7 - 2\sqrt{7} \) и \( y > 7 + 2\sqrt{7} \) выражение положительно, а между корнями — отрицательно.

Таким образом, \( 4y(y + 5) \) имеет смысл при \( y < 7 - 2\sqrt{7} \) или \( y > 7 + 2\sqrt{7} \).