Вычислить sin a; cos a;tg a, если ctg a=корень из 3/3, п

Чтобы вычислить значения \( \sin a \), \( \cos a \) и \( \tan a \), зная, что \( \cot a = \frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \), начнем с анализа информации.

1. Преобразуем \( \cot a \): \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} \implies \tan a = \frac{1}{\cot a} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \]

2. Определяем, в каком квадранте находится угол \( a \):
   Поскольку угол \( a \) находится в интервале \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \), это означает, что \( a \) находится в третьем квадранте. В третьем квадранте как синус, так и косинус отрицательны, а тангенс положителен.

3. Выражаем \( \sin a \) и \( \cos a \): Используя тригонометрическую идентичность \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \): \[ \tan a = \sqrt{3} \implies \frac{\sin a}{\cos a} = \sqrt{3}. \]

   Обозначим \( \sin a = -y \) и \( \cos a = -x \) (поскольку значения отрицательны в третьем квадранте). Таким образом, получается: \[ \frac{-y}{-x} = \sqrt{3} \implies \frac{y}{x} = \sqrt{3} \implies y = \sqrt{3}x. \]

4. Используем основную тригонометрическую идентичность: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. \] Подставим наши выражения: \[ (\sqrt{3}x)^2 + x^2 = 1 \implies 3x^2 + x^2 = 1 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2} \text{ (поскольку \( x \) отрицательный в 3-й четверти, берем } x = -\frac{1}{2}). \]

5. Находим \( y \): \[ y = \sqrt{3}x \implies y = \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

6. Таким образом: \[ \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos a = -\frac{1}{2}, \quad \tan a = \sqrt{3}. \]

7. Результаты: \[ \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos a = -\frac{1}{2}, \quad \tan a = \sqrt{3}. \]

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!