1/1•3+1/3•5+1/5•7+...+1/(2n-1)(2n+1)=n/2n+1

Чтобы понять, как доказать данное равенство, рассмотрим сумму

\[ S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}. \]

Каждый элемент данной суммы имеет вид:

\[ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}, \]

где \( k \) принимает значения от 1 до \( n \). Это разложение позволяет использовать телескопическую сумму.

Теперь подставим это выражение в сумму:

\[ S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{(2n-1)} - \frac{1}{(2n+1)} \right). \]

Обратите внимание, что многие члены взаимно уничтожаются, и в результате остается:

\[ S_n = 1 - \frac{1}{2n+1}. \]

Теперь упрощаем:

\[ S_n = \frac{(2n+1) - 1}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}. \]

Таким образом, можем записать:

\[ S_n = \frac{n}{2n+1}. \]

Это и есть то, что нужно было доказать! Мы показали, что

\[ \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}. \]

Если у вас есть другие вопросы или вам нужно больше объяснений по данной теме, не стесняйтесь спрашивать!