Дан треугольник АВС. AC = 17,4 см; угол B = 45°; угол C = 60°. Найди сторону АВ. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.)

Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \) можно воспользоваться теоремой синусов. Сначала нам нужно найти угол \( A \).

Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180° \), можем выразить угол \( A \):

\[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 45° - 60° = 75°. \]

Теперь нам известны все углы треугольника: \( \angle A = 75° \), \( \angle B = 45° \) и \( \angle C = 60° \). Теперь применим теорему синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}. \]

Подставляя известные значения:

\[ \frac{AB}{\sin 60°} = \frac{17.4}{\sin 45°}. \]

Значения синусов:

\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Теперь уравнение принимает следующий вид:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{17.4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]

Упрощаем:

\[ AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 17.4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Переписываем это уравнение:

\[ AB = 17.4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 17.4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \]

Теперь заменяем \( \sqrt{3} \) и \( \sqrt{2} \):

\[ AB = 17.4 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}. \]

Подсчитаем \( 17.4 \) при помощи корня:

\[ AB = 17.4 \cdot \sqrt{1.5} = 17.4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{17.4\sqrt{6}}{4}. \]

Для того чтобы упростить это выражение до наименьшего натурального числа под знаком корня, можно вычислить конечное значение. Приблизительно:

\[ AB \approx \frac{17.4 \cdot 2.45}{4} \approx \frac{42.63}{4} \approx 10.66. \]

Поэтому, округляя в меньшую сторону, мы получаем:

\[ AB \approx \sqrt{77}, \]

что можно записать как \( \sqrt{6 \cdot 13} = \sqrt{78} \).

Таким образом, сторона \( AB \) равна \( 6\sqrt{13} \).