Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, AD = 18 см, BD = 22 см. Найдите периметр треугольника BOC. По действиям
Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
Найдем длины сторон прямоугольника ABCD: В прямоугольнике противоположные стороны равны. Обозначим длину стороны AB (которая равна CD) как \( a \), а сторону AD (которая равна BC) как \( b = 18 \, \text{см} \).
Используем диагонали: Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в середине. У нас есть диагональ BD, её длина \( BD = 22 \, \text{см} \). Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения стороны \( AB \):
\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \] Подставим известные значения: \[ 22^2 = a^2 + 18^2 \] \[ 484 = a^2 + 324 \] \[ a^2 = 484 - 324 = 160 \] \[ a = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \, \text{см} \]
Найдем расстояние от точки O (центра пересечения диагоналей) до вершин B и C: Так как точка O является серединой диагоналей, то \( BO = \frac{BD}{2} = \frac{22}{2} = 11 \, \text{см} \) и \( CO = \frac{AC}{2} \).
Теперь найдём длину AC, используя теорему Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2 = 160 + 324 = 484 \] \[ AC = \sqrt{484} = 22 \, \text{см} \] Значит, \( CO = \frac{AC}{2} = \frac{22}{2} = 11 \, \text{см} \).
Найдем периметр треугольника BOC: Для нахождения периметра треугольника \( BOC \) нужно сложить длины его сторон: \[ BO + OC + BC \] Где длина BC равна стороне AD (так как B и C – это вершины треугольника): \[ BC = AD = 18 \, \text{см} \] Подставим данные: \[ P_{BOC} = BO + OC + BC = 11 + 11 + 18 = 40 \, \text{см} \]
Таким образом, периметр треугольника BOC равен 40 см.
