log2x+1(3-2x)<1
Чтобы решить неравенство \( \log_2(x + 1)(3 - 2x) < 1 \), нам нужно следовать нескольким шагам.
Решим неравенство: Начнем с преобразования. Мы можем переписать неравенство:
\[ \log_2((x + 1)(3 - 2x)) < 1 \]
По определению логарифма, это эквивалентно:
\[ (x + 1)(3 - 2x) < 2^1 \]
То есть:
\[ (x + 1)(3 - 2x) < 2 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x - 2x^2 + 3 - 2x < 2 \] \[ -2x^2 + x + 3 < 2 \] \[ -2x^2 + x + 1 < 0 \]
Умножим неравенство на -1: Помните, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\[ 2x^2 - x - 1 > 0 \]
Найдем корни квадратного уравнения: Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
Корни находятся по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{4} \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{1}{2} \]
Знаковый анализ: Теперь нам нужно провести анализ знаков многочлена \( 2x^2 - x - 1 \). Корни делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
- \( (-\frac{1}{2}, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Проверим знак в каждом интервале:
- Для \( x < -\frac{1}{2} \) (например, \( x = -1 \)): \( 2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 > 0 \)
- Для \( -\frac{1}{2} < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( 2(0)^2 - 0 - 1 = -1 < 0 \)
- Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( 2(2)^2 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 \)
Решение неравенства: Мы ищем, где \( 2x^2 - x - 1 > 0 \). Это происходит на интервалах:
\[ x < -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x > 1 \]
Проверим область определения: Поскольку в начале у нас было логарифмическое выражение, необходимо также учесть, что \( x + 1 > 0 \) и \( 3 - 2x > 0 \). Это означает:
\[ x > -1 \quad \text{и} \quad x < \frac{3}{2} \]
Объединим условия: Наконец, совмещаем наши условия:
- Для \( x < -\frac{1}{2} \): единственное решение \( x > -1 \) дает \( -1 < x < -\frac{1}{2} \).
- Для \( x > 1 \): должно быть также \( x < \frac{3}{2} \), то есть \( 1 < x < \frac{3}{2} \).
Таким образом, окончательное решение:
\[ -1 < x < -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad 1 < x < \frac{3}{2} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
