Дана замкнутая ломаная АВС. Точки M, К, N - середины её звеньев АВ, ВС и АС. Точки Р, Е, G - середины отрезков МВ, КС и AN. Найдите длину ломаной АВС, если AP + BE + CG = 108.

Чтобы решить задачу, сначала давайте проанализируем, что у нас есть.

Данная замкнутая ломаная ABC состоит из трёх звеньев: AB, BC и CA. Точки M, K и N — это середины звеньев,таким образом:

• M — середина отрезка AB
• K — середина отрезка BC
• N — середина отрезка CA

Далее, точки P, E и G являются серединами отрезков:

• P — середина отрезка MB
• E — середина отрезка KC
• G — середина отрезка AN

Теперь мы знаем, что \( AP + BE + CG = 108 \).

Для нахождения длины ломаной ABC, давайте введем обозначения для длин звеньев:

• \( AB = c \)
• \( BC = a \)
• \( CA = b \)

Тогда, соответственно, длины отрезков:

• \( AM = \frac{c}{2} \)
• \( BK = \frac{a}{2} \)
• \( CN = \frac{b}{2} \)

Теперь найдем длины отрезков MP, KE и AG:

• Так как P — середина MB, то: \[ AP = AM + MP = \frac{c}{2} + \frac{c}{4} = \frac{3c}{4} \]

• Так как E — середина KC, то: \[ BE = BK + KE = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4} \]

• Так как G — середина AN, то: \[ CG = CN + AG = \frac{b}{2} + \frac{b}{4} = \frac{3b}{4} \]

Теперь мы можем подставить эти выражения в равенство:

\[ AP + BE + CG = \frac{3c}{4} + \frac{3a}{4} + \frac{3b}{4} = 108 \]

Объединим все выражения:

\[ \frac{3(c + a + b)}{4} = 108 \]

Теперь умножим обе стороны на 4:

\[ 3(c + a + b) = 432 \]

Теперь разделим на 3:

\[ c + a + b = 144 \]

Таким образом, длина замкнутой ломаной ABC равна 144.