основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат со стороной 1 см, а длина бокового ребра параллелепипеда равна 3 см. Точки P, T, O и K являются серединами…

Для начала определим координаты точек, которые понадобятся для вычисления периметра четырехугольника PTOK.

Дадим координаты следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(1, 0, 3)
• C1(1, 1, 3)
• D1(0, 1, 3)

Теперь найдем координаты точек P, T, O и K:

1. P - середина отрезка AB: \[ P\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = P\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \]

2. T - середина отрезка BB1: \[ T\left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 3}{2}\right) = T\left(1, 0, \frac{3}{2}\right) \]

3. O - середина отрезка B1D: \[ O\left(\frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = O\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 3\right) \]

4. K - середина отрезка AD: \[ K\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = K\left(0, \frac{1}{2}, 0\right) \]

Теперь у нас есть координаты всех четырех точек:

• P(0.5, 0, 0)
• T(1, 0, 1.5)
• O(0.5, 0.5, 3)
• K(0, 0.5, 0)

Теперь вычислим длины сторон четырехугольника PTOK и его периметр.

1. Длина PT: \[ PT = \sqrt{(1 - 0.5)^2 + (0 - 0)^2 + (1.5 - 0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (0)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{0.25 + 2.25} = \sqrt{2.5} = \frac{\sqrt{10}}{2} \]

2. Длина TO: \[ TO = \sqrt{(0.5 - 1)^2 + (0.5 - 0)^2 + (3 - 1.5)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25 + 2.25} = \sqrt{2.75} = \frac{\sqrt{11}}{2} \]

3. Длина OK: \[ OK = \sqrt{(0 - 0.5)^2 + (0.5 - 0.5)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (0)^2 + (-3)^2} = \sqrt{0.25 + 0 + 9} = \sqrt{9.25} = \frac{\sqrt{37}}{2} \]

4. Длина KP: \[ KP = \sqrt{(0.5 - 0)^2 + (0 - 0.5)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь сложим все длины сторон, чтобы найти периметр: \[ P = PT + TO + OK + KP = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ P = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{37} + \sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, периметр четырехугольника PTOK равен \(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{11} + \sqrt{37} + \sqrt{2}}{2}\).