x - 2)(x + 2) / x - 3 < 0 решить методом интервалов

Для решения неравенства \( \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3} < 0 \) методом интервалов, следуем следующим шагам:

1. Найдём нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \( (x - 2)(x + 2) = 0 \)
     • \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \)
     • \( x + 2 = 0 \) → \( x = -2 \)
   • Знаменатель: \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \)

   Таким образом, критические точки – это \( x = -2, 2, 3 \).

2. Определим интервалы: Критические точки разбивают числовую прямую на четыре интервала:

   • \( (-\infty, -2) \)
   • \( (-2, 2) \)
   • \( (2, 3) \)
   • \( (3, +\infty) \)

3. Исследуем знак выражения на каждом интервале: Выберем тестовые точки для каждого интервала и подставим их в само выражение:

   • Для интервала \( (-\infty, -2) \) (например, \( x = -3 \)): \[ \frac{(-3 - 2)(-3 + 2)}{-3 - 3} = \frac{(-5)(-1)}{-6} = \frac{5}{-6} < 0 \] Значит, этот интервал удовлетворяет неравенству.

   • Для интервала \( (-2, 2) \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{(0 - 2)(0 + 2)}{0 - 3} = \frac{(-2)(2)}{-3} = \frac{-4}{-3} > 0 \] Значит, этот интервал не удовлетворяет неравенству.

   • Для интервала \( (2, 3) \) (например, \( x = 2.5 \)): \[ \frac{(2.5 - 2)(2.5 + 2)}{2.5 - 3} = \frac{(0.5)(4.5)}{-0.5} = \frac{2.25}{-0.5} < 0 \] Значит, этот интервал удовлетворяет неравенству.

   • Для интервала \( (3, +\infty) \) (например, \( x = 4 \)): \[ \frac{(4 - 2)(4 + 2)}{4 - 3} = \frac{(2)(6)}{1} = 12 > 0 \] Значит, этот интервал не удовлетворяет неравенству.

4. Соберём результаты: Удовлетворяющие интервала:

   • \( (-\infty, -2) \)
   • \( (2, 3) \)

5. Не забудьте про проверку на границах:

   • На границе \( x = -2 \) и \( x = 2 \) числитель равен нулю, следовательно, они не включаются в решение.
   • На границе \( x = 3 \) значение выражения неопределено (деление на ноль), поэтому эта точка также не включается.

Таким образом, окончательное решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -2) \cup (2, 3) \]