x - 2)(x + 2) / x - 3 <0 решить методом интервалов

Давайте решим неравенство \((x - 2)(x + 2) / (x - 3) < 0\) методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Нули числителя: \((x - 2)(x + 2) = 0\)
     • \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
     • \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
   • Ноль знаменателя: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

2. Здесь мы определили три критические точки: \(x = -2\), \(x = 2\), и \(x = 3\). Эти точки разделят числовую прямую на интервалы:

   • \((-∞, -2)\)
   • \((-2, 2)\)
   • \((2, 3)\)
   • \((3, +∞)\)

3. Выберем тестовые значения из каждого интервала и определим знак выражения:

   • Для интервала \((-∞, -2)\): возьмем, например, \(x = -3\) \[ \frac{(-3-2)(-3+2)}{-3-3} = \frac{(-5)(-1)}{-6} = \frac{5}{-6} < 0 \]

   • Для интервала \((-2, 2)\): возьмем, например, \(x = 0\) \[ \frac{(0-2)(0+2)}{0-3} = \frac{(-2)(2)}{-3} = \frac{-4}{-3} > 0 \]

   • Для интервала \((2, 3)\): возьмем, например, \(x = 2.5\) \[ \frac{(2.5-2)(2.5+2)}{2.5-3} = \frac{(0.5)(4.5)}{-0.5} = \frac{2.25}{-0.5} < 0 \]

   • Для интервала \((3, +∞)\): возьмем, например, \(x = 4\) \[ \frac{(4-2)(4+2)}{4-3} = \frac{(2)(6)}{1} = 12 > 0 \]

4. Обобщим знаки на интервалах:

   • \((-∞, -2)\): знак отрицательный (< 0)
   • \((-2, 2)\): знак положительный (> 0)
   • \((2, 3)\): знак отрицательный (< 0)
   • \((3, +∞)\): знак положительный (> 0)

5. Теперь выделим интервалы, где выражение меньше нуля:

   • \((-∞, -2)\)
   • \((2, 3)\)

6. Проверка на включение границ:

   • В пределах \((x - 2)(x + 2)\) оно равно нулю в точках \(x = -2\) и \(x = 2\), а также не определено в \(x = 3\). Следовательно, точки \(x = -2\) и \(x = 2\) не включаем, но \(x = 3\) исключаем.

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-∞, -2) \cup (2, 3) \]