вычисли наибольшию площадь прямоугольника с пириметром 16см

Чтобы найти наибольшую площадь прямоугольника с заданным периметром, сначала вспомним, что периметр P прямоугольника можно выразить через его длину a и ширину b следующим образом:

\[ P = 2(a + b) \]

В данном случае периметр равен 16 см:

\[ 2(a + b) = 16 \]

Если мы упростим это уравнение, мы получим:

\[ a + b = 8 \]

Теперь, чтобы выразить площадь S прямоугольника, используем формулу:

\[ S = a \cdot b \]

Из уравнения \( a + b = 8 \) мы можем выразить одну переменную через другую. Например, можно выразить b:

\[ b = 8 - a \]

Подставив это выражение в формулу площади, получаем:

\[ S = a \cdot (8 - a) \]

Теперь это выражение можно переписать как:

\[ S = 8a - a^2 \]

Это квадратное уравнение, и его график имеет форму параболы, направленной вниз. Наибольшая площадь будет достигнута в вершине этой параболы.

Вершина параболы, заданной уравнением \( S = -a^2 + 8a \), находится в точке:

\[ a_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4 \]

Таким образом, \( a \) равен 4 см. Подставим это значение обратно, чтобы найти \( b \):

\[ b = 8 - a = 8 - 4 = 4 \]

Теперь можем вычислить площадь:

\[ S = a \cdot b = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2 \]

Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника с периметром 16 см составляет 16 см².