Y=x²-2x; y=x найдите площадь криволинейной трапеции
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2x \) и \( y = x \), необходимо выполнить несколько шагов.
- Найти точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения друг другу:
\[ x^2 - 2x = x \]
Сократим уравнения:
\[ x^2 - 3x = 0 \]
Факторизуем:
\[ x(x - 3) = 0 \]
Таким образом, \( x = 0 \) и \( x = 3 \) — это точки пересечения.
Определить пределы интегрирования. Мы будем интегрировать от \( x = 0 \) до \( x = 3 \).
Найти площадь между кривыми с помощью интеграла. Площадь можно вычислить по формуле:
\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx, \]
где \( f(x) \) — это верхняя функция (в данном случае \( y = x \)), а \( g(x) \) — нижняя функция (в данном случае \( y = x^2 - 2x \)).
Подставляем нужные функции:
\[ S = \int_{0}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{3} (x - x^2 + 2x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx. \]
- Вычисление интеграла.
Интегрируем:
\[ S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{3}. \]
Теперь подставим пределы:
\[ S = \left[-\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2}\right] - \left[-\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2}\right], \]
\[ S = \left[-\frac{27}{3} + \frac{27}{2}\right] - [0] = \left[-9 + 13.5\right] = 4.5. \]
Итак, площадь криволинейной трапеции составляет \( 4.5 \) квадратных единиц.
