y=x²-2x; y=x найдите площадь криволинейной трапеции
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2x \) и \( y = x \), сначала необходимо найти точки их пересечения.
Установим равенство: \[ x^2 - 2x = x \]
Переносим все элементы в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 3x = 0 \]
Факторизуем: \[ x(x - 3) = 0 \]
Получаем корни: \[ x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 3 \]
Теперь мы знаем, что кривые пересекаются в точках \( (0, 0) \) и \( (3, 3) \).
С помощью этих точек мы можем задать пределы интегрирования от 0 до 3. Площадь между кривыми можно найти, вычислив определённый интеграл разности функций: \[ S = \int_{0}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \, dx \]
Упростим выражение: \[ S = \int_{0}^{3} (x - x^2 + 2x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx \]
Вычислим интеграл: \[ S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{3} \]
Подставим пределы: \[ S = \left[-\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2}\right] - \left[-\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2}\right] \] \[ S = \left[-\frac{27}{3} + \frac{27}{2}\right] - 0 = -9 + \frac{27}{2} \] \[ S = -9 + 13.5 = 4.5 \]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна \( 4.5 \) квадратных единиц.
