Задание 1. Мастер‑класс Антон Алексеевич, преподаватель математики в старшей школе, решил продемонстрировать практическое применение математических расчётов и провести…
Задание 1. Мастер‑класс Антон Алексеевич, преподаватель математики в старшей школе, решил продемонстрировать практическое применение математических расчётов и провести мастер‑класс по очистке квадратной маркерной доски длины n квадратной губкой длины a. Антон Алексеевич использует свой фирменный метод, затирая каждый сантиметр доски без лишних движений. Он начинает с верхнего левого угла доски, двигаясь слева направо, затем вниз, влево, вверх, повторяя этот процесс, пока вся доска не будет очищена, но не проходя губкой по тем местам, которые уже очищены (см. рисунок ниже). Губка не вращается во время стирания с доски. Гарантируется, что длина стороны губки делит длину стороны доски без остатка. Определите длину ломаной линии, которую описывает верхний левый угол квадратной губки при затирании квадратной доски. Формат входных данных Первая строка содержит целое число n (1≤n≤109) длину стороны доски. Вторая строка содержит целое число a (1≤a≤109, a≤n) длину стороны губки. nn делится на a без остатка. Формат выходных данных В единственной строке выведите число длину ломаной, которую пройдёт левый верхний угол губки. Обратите внимание, что ответ в этой задаче может превышать возможное значение 32‑битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64‑битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип long в Java и C#). Система оценки Решения, правильно работающие при n, a≤103, будут оцениваться в 40 баллов. Замечание Проиллюстрируем пример к условию. Жёлтым на схеме обозначена губка, голубым очищенная область, красным маршрут левого верхнего угла губки. Ввод 6 2 Вывод 16
Чтобы решить задачу, давайте сначала разберём, как движется губка по доске.
Размеры доски и губки:
- Доска имеет длину стороны \( n \).
- Губка имеет длину стороны \( a \).
- Поскольку \( n \) делится на \( a \), количество шагов в каждом направлении будет равно \( \frac{n}{a} \).
Перемещение губки:
- Губка начинает в верхнем левом углу и движется следующим образом:
- Сначала перемещается вправо на длину \( a \) до верхнего правого угла.
- Затем вниз на длину \( a \) до нижнего правого угла.
- Затем влево на длину \( a \) до нижнего левого угла.
- Затем вверх на длину \( a \) до верхнего левого угла, заканчивая полный цикл.
- Этот процесс повторяется, пока вся доска не будет очищена.
- Губка начинает в верхнем левом углу и движется следующим образом:
Разделение на сектора:
- В каждом "цикле" губка проходит все стороны квадрата, который равен длине всей доски \( n \).
- Вычислим, сколько раз губка будет повторять этот цикл. Полный цикл содержит:
- Движение вправо: \( a \)
- Движение вниз: \( a \)
- Движение влево: \( a \)
- Движение вверх: \( a \)
- Таким образом, длина каждого полного цикла равна \( 4a \).
Количество циклов:
- Количество полных циклов будет равным \( \frac{n}{a} \), потому что губка очищает всю поверхность стороны доски.
Общая длина ломаной:
- Каждый цикл содержит 4 стороны, и губка делает \( \frac{n}{a} \) таких циклов. Так что общая длина ломаной, которую пройдет верхний левый угол губки: \[ L = 4a \times \frac{n}{a} = 4n \]
Теперь подставим наши значения из условия задачи:
Для \( n = 6 \) и \( a = 2 \): \[ L = 4 \times n = 4 \times 6 = 24 \]
Однако, учитывая, что губка при очищении первого цикла не возвращается в позицию 0,0 после обработки, последний полный цикл не включает возвращение, поэтому длина пути будет немного меньше.
Итак, конечный ответ (излишки циклов могут быть вам не нужны - важна лишь длина первого полного прохода), снова проверьте формула:
- Высчитываем общее расстояние: \[ L = 4 \times \frac{n}{a} \]
Теперь, применяя это к заданным \( n \) и \( a \):
Итоговая длина ломаной линии, которую пройдет верхний левый угол губки: \[ 24 \] Таким образом, ответ: \[ 24 \]
Обратите внимание, задания могут требовать практической проверки и визуализации, обращайтесь за любой дополнительной помощью!
