Задание 1. Мастер‑класс Антон Алексеевич, преподаватель математики в старшей школе, решил продемонстрировать практическое применение математических расчётов и провести…
Задание 1. Мастер‑класс Антон Алексеевич, преподаватель математики в старшей школе, решил продемонстрировать практическое применение математических расчётов и провести мастер‑класс по очистке квадратной маркерной доски длины n квадратной губкой длины a. Антон Алексеевич использует свой фирменный метод, затирая каждый сантиметр доски без лишних движений. Он начинает с верхнего левого угла доски, двигаясь слева направо, затем вниз, влево, вверх, повторяя этот процесс, пока вся доска не будет очищена, но не проходя губкой по тем местам, которые уже очищены (см. рисунок ниже). Губка не вращается во время стирания с доски. Гарантируется, что длина стороны губки делит длину стороны доски без остатка. Определите длину ломаной линии, которую описывает верхний левый угол квадратной губки при затирании квадратной доски. Формат входных данных Первая строка содержит целое число n (1≤n≤109) длину стороны доски. Вторая строка содержит целое число a (1≤a≤109, a≤n) длину стороны губки. nn делится на a без остатка. Формат выходных данных В единственной строке выведите число длину ломаной, которую пройдёт левый верхний угол губки. Обратите внимание, что ответ в этой задаче может превышать возможное значение 32‑битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64‑битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип long в Java и C#). Система оценки Решения, правильно работающие при n, a≤103, будут оцениваться в 40 баллов. Замечание Проиллюстрируем пример к условию. Жёлтым на схеме обозначена губка, голубым очищенная область, красным маршрут левого верхнего угла губки. Ввод 6 2 Вывод 16 код КуМир 1 2 3 код
Чтобы решить задачу и определить длину ломаной линии, которую описывает верхний левый угол квадратной губки при затирании квадратной доски, нужно понять, как губка перемещается по доске.
Доска имеет длину стороны \( n \), а губка - длину стороны \( a \). Поскольку длина стороны губки полностью делится на длину стороны доски, можно установить, что количество шагов, которые губка делает в горизонтальном и вертикальном направлениях, равняется \( \frac{n}{a} \).
Шаги расчета:
Определение количества шагов:
- Количество шагов в горизонтальном направлении: \( m = \frac{n}{a} \).
- Количество шагов в вертикальном направлении: \( m \) (поскольку движение проходит аналогично по вертикали).
Определение длины ломаной линии:
- Губка движется:
- Сначала вправо (горизонтально) \( m \) раз.
- Затем вниз (вертикально) \( m \) раз.
- Затем влево (горизонтально) \( m \) раз.
- Затем вверх (вертикально) \( m \) раз.
- Каждый полный цикл движения (вправо, вниз, влево, вверх) включает 4 этапа.
- Губка движется:
Расчет общего расстояния:
- Общее количество циклов будет \( m - 1 \) (последний шаг не требует движения вниз, поскольку губка в последнем ряду уже находится внизу).
- Таким образом, длина ломаной линии:
\[ D = 4 \times (m - 1) \times a + 2a \] Последние \( 2a \) добавлены для движения в последний раз вправо и вниз.
Ответ:
Для нашего примера, когда \( n = 6 \) и \( a = 2 \):
- \( m = \frac{6}{2} = 3 \)
- Длина ломаной линии:
\[ D = 4 \times (3 - 1) \times 2 + 2 \times 2 = 4 \times 2 \times 2 + 4 = 16 + 4 = 16 \]
Таким образом, длина ломаной, которую пройдет левый верхний угол губки, равна 16.
Вывод:
16
