Втреугольнике abc дано: ab= 4,08⋅√6, ∠b = 60, ∠c= 45.найдите сторону ac.

Для нахождения стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где даны:

• \( AB = 4,08 \cdot \sqrt{6} \)
• \( \angle B = 60^\circ \)
• \( \angle C = 45^\circ \)

Сначала найдем угол \( A \) с помощью свойства суммы углов в треугольнике:

\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Теперь воспользуемся теоремой синусов, которая говорит, что отношение сторон к синусам противолежащих углов постоянное:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \( a = BC \)
• \( b = AC \)
• \( c = AB \)

Подставим известные значения:

• \( c = AB = 4,08 \cdot \sqrt{6} \)
• \( \angle A = 75^\circ \)
• \( \angle B = 60^\circ \)

Теперь можем выразить сторону \( AC \):

\[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B} \]

Подставим значения:

\[ \frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{4,08 \cdot \sqrt{6}}{\sin 60^\circ} \]

Сначала найдем синусы углов:

• \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

Теперь подставим в формулу:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4,08 \cdot \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упрощаем правую часть:

\[ = 4,08 \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8,16 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 8,16 \cdot \sqrt{2} \]

Теперь можем выразить сторону \( AC \):

\[ AC = 8,16 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Упрощая:

\[ AC = 2,04 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) составляет \( 2,04 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \).