Мастер‑класс. Антон Алексеевич, преподаватель математики в старшей школе, решил продемонстрировать практическое применение математических расчётов и провести мастер‑класс по…
Мастер‑класс. Антон Алексеевич, преподаватель математики в старшей школе, решил продемонстрировать практическое применение математических расчётов и провести мастер‑класс по очистке квадратной маркерной доски длины n квадратной губкой длины a. Антон Алексеевич использует свой фирменный метод, затирая каждый сантиметр доски без лишних движений. Он начинает с верхнего левого угла доски, двигаясь слева направо, затем вниз, влево, вверх, повторяя этот процесс, пока вся доска не будет очищена, но не проходя губкой по тем местам, которые уже очищены (см. рисунок ниже). Губка не вращается во время стирания с доски. Гарантируется, что длина стороны губки делит длину стороны доски без остатка. Определите длину ломаной линии, которую описывает верхний левый угол квадратной губки при затирании квадратной доски. Формат входных данных Первая строка содержит целое число n (1≤n≤109) длину стороны доски. Вторая строка содержит целое число a (1≤a≤109, a≤n) длину стороны губки. nn делится на a без остатка. Формат выходных данных В единственной строке выведите число длину ломаной, которую пройдёт левый верхний угол губки. Обратите внимание, что ответ в этой задаче может превышать возможное значение 32‑битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64‑битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип long в Java и C#). Система оценки Решения, правильно работающие при n, a≤103, будут оцениваться в 40 баллов. Замечание Проиллюстрируем пример к условию. Жёлтым на схеме обозначена губка, голубым очищенная область, красным маршрут левого верхнего угла губки. Задание 6. Наши слоны. На столе лежит шахматная доска, в которой n строк и m столбцов. Слон может ходить по диагонали на любое количество клеток. Пустая клетка находится «под боем», если какой‑либо из слонов на доске может одним ходом перейти на эту клетку. На доске в четырёх углах стоят четыре слона. Сколько клеток находится «под боем»? Формат входных данных В первой строке содержится количество строк шахматной доски nn, во второй столбцов mm (2≤n, m≤108). Формат выходных данных В единственной строке выведите целое число количество клеток, находящихся «под боем». Система оценки Решения, правильно работающие при nn, m≤500, будут оцениваться в 52 балла. Замечание Ввод 2 4 2 2 4 7 Вывод 4 0 10 Задание 7. Пирамидки. Ваня хочет построить из кубиков n пирамидок. Он собирает пирамидки следующим образом: 1. Изначально в каждой пирамидке имеется по a1 кубиков в первом ряду. 2. В каждой второй пирамидке, т.е. номер которой делится на 2, к ним добавляется по a2 кубиков во второй ряд. 3. В каждой четвёртой пирамидке, т.е. номер которой делится на 4, добавляется по a3 кубиков в третий ряд. 4. В каждой восьмой пирамидке, т.е. номер которой делится на 8, добавляется по a4 кубиков в четвёртый ряд. И так далее. Выразим условие более формально: в каждой пирамидке, номер которой делится на (i−1)-ую степень числа 2, к исходному числу кубиков a1 добавляется по ai кубиков в i ряд. Помогите Ване определить количество кубиков, которое ему нужно для построения всех пирамидок. Формат входных данных Первая строка входных данных содержит число nn (1≤n≤109) количество пирамидок, которые хочет построить Ваня. Вторая строка входных данных содержит число kk (1≤k≤30) количество рядов, для которых известно, сколько в них будет кубиков. Гарантируется, что в каждой пирамидке не более чем k рядов. Каждая из следующих k строк содержит aiai (1≤ai≤109) количество кубиков в i-м ряде пирамидки. Количество кубиков, требующихся для каждого следующего слоя, не убывает. Формат выходных данных В единственной строке выведите число количество кубиков, которые нужны Ване для постройки всех пирамидок. Обратите внимание, что ответ в этой задаче может превышать возможное значение 32‑битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64‑битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип long в Java и C#). Система оценки Решения, правильно работающие при n≤15, ai≤100, будут оцениваться в 20 баллов. Решения, правильно работающие при n≤105, будут оцениваться в 50 баллов. Замечание Рассмотрим первый пример. Пирамидки с нечётными номерами 1, 3, 5 имеют по одному ряду и состоят из 1 кубика. Пирамидки с номерами 2, 6 имеют по два ряда и состоят из 1+3 кубиков. Пирамидка с номером 4 имеет 3 ряда и состоит из 1+3+8 кубиков. В сумме Ване потребуется 1+(1+3)+1+(1+3+8)+1+(1+3) = 23 кубика. Пирамидки изображены на рисунке. Скачать все ответы Не пропустите новые публикации Подписаться Комментарии Комментировать могут только подписчики Подписаться Ничего нет Пока здесь тихо Оставьте комментарий, а остальные подтянутся за вами
Давайте подробно разберём каждую задачу и найдем решения.
Задание 5: Мастер-класс по очищению доски
Каждый раз, когда губка очищает участки доски, её верхний левый угол описывает ломаную линию, так как губка движется по квадрату и не оставляет очищенных мест. Поскольку губка размером \(a \times a\) движется по квадратной доске размером \(n \times n\), и \(n\) делится на \(a\) без остатка, можно подсчитать, сколько раз губка проходит на каждом уровне.
- Количество проходов по горизонтали: Всего высота доски делится на высоту губки, то есть \(H = \frac{n}{a}\).
- Количество проходов по вертикали: Аналогично, ширина доски также делится на ширину губки \(W = \frac{n}{a}\).
- Длина ломаной линии: Мы можем написать формулу для длины, учитывая два прохода по горизонтали и два по вертикали, в каждом из которых губка делает поворот. Формула для длины ломаной линии будет: \[ L = 2H + 2W = 2 \left( \frac{n}{a} \right) + 2 \left( \frac{n}{a} \right) = 4 \left( \frac{n}{a} \right) \]
Таким образом, результирующая длина ломаной линии, которую описывает верхний левый угол губки: \[ L = \frac{4n}{a} \]
Задание 6: Слоны на шахматной доске
В данной задаче нужно определить, сколько клеток находится «под боем» от четырёх слонов на углах шахматной доски.
- Под боем получается: Слоны действуют по диагоналям. На шахматной доске с \(n\) строками и \(m\) столбцами можно рассчитать количество клеток, находящихся под боем.
- Клетки под боем от одного слона: Для каждого слона, расположенного на углу, мы можем вычислить клетки по диагоналям. На каждой диагонали, коснувшейся стороны \(n\) или \(m\), с одной стороны сразу сказано, что это границы доски.
- Общая площадь: Мы можем рассчитать количество клеток, которые слоны могут атаковать: \[ \text{Клетки под боем} = (n - 1) + (m - 1) + (n - 1) + (m - 1) - 4 = 2n + 2m - 4 = 2(n + m - 2) \]
Таким образом, можно вывести: \[ \text{Количество клеток под боем} = 2(n + m - 2) \]
Задание 7: Пирамидки из кубиков
Задача заключается в подсчете необходимого количества кубиков для постройки пирамидок последовательным образом.
- Наличие рядов: Каждая пирамидка имеет хотя бы 1 уровень (все пирамидки имеют 1 кубик); те, что номер которых чётный, имеют по 2, а те, что номер которых четвёртый, – по 3, и так далее.
- Формула для кубиков в каждой пирамидке: \[ \text{Нужные кубики} = a_1 \cdot n + \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \cdot a_2 + \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor \cdot a_3 + \cdots \]
Где \(\left\lfloor x \right\rfloor\) - это целая часть числа \(x\).
Суммируем кубики по уровням, обращая внимание на то, что добавляются кубики только к определённым пирамидкам.
Таким образом, общее количество кубиков можно найти по формуле, учитывающей все уровни.
Если у Вас есть конкретные числа или дополнительные вопросы, пожалуйста, сообщите, и мы можем рассмотреть их более подробно!
