Мастер‑класс. Антон Алексеевич, преподаватель математики в старшей школе, решил продемонстрировать практическое применение математических расчётов и провести мастер‑класс по очистке квадратной маркерной доски длины n квадратной губкой длины a. Антон Алексеевич использует свой фирменный метод, затирая каждый сантиметр доски без лишних движений. Он начинает с верхнего левого угла доски, двигаясь слева направо, затем вниз, влево, вверх, повторяя этот процесс, пока вся доска не будет очищена, но не проходя губкой по тем местам, которые уже очищены (см. рисунок ниже). Губка не вращается во время стирания с доски. Гарантируется, что длина стороны губки делит длину стороны доски без остатка. Определите длину ломаной линии, которую описывает верхний левый угол квадратной губки при затирании квадратной доски. Формат входных данных Первая строка содержит целое число n (1≤n≤109) длину стороны доски. Вторая строка содержит целое число a (1≤a≤109, a≤n) длину стороны губки. nn делится на a без остатка. Формат выходных данных В единственной строке выведите число длину ломаной, которую пройдёт левый верхний угол губки. Обратите внимание, что ответ в этой задаче может превышать возможное значение 32‑битной целочисленной переменной, поэтому необходимо использовать 64‑битные целочисленные типы данных (тип int64 в языке Pascal, тип long long в C++, тип long в Java и C#). Система оценки Решения, правильно работающие при n, a≤103, будут оцениваться в 40 баллов. Замечание Проиллюстрируем пример к условию. Жёлтым на схеме обозначена губка, голубым очищенная область, красным маршрут левого верхнего угла губки.

Для решения задачи о длине ломаной линии, которую опишет верхний левый угол губки при очищении квадратной доски, начнем с анализа движения губки.

1. Основные параметры:

   • Доска имеет длину сторона n.
   • Губка имеет длину стороны a.
   • Доска делится на губку без остатка, следовательно, n/a – это количество губок по одной стороне доски.

2. Количество шагов:

   • Так как губка начинает движение с верхнего левого угла и проходит всю доску, она будет двигаться по всему периметру очищенной области.
   • Мы можем обозначить количество "губок" по одной стороне доски как m = n/a.
   • Процесс очищения будет организован в "зигзаке" (сначала вперёд, затем вниз, в сторону, вверх).

3. Движение губки:

   • В первую очередь, губка переместится по горизонтали (лево-право) и затем по вертикали (вниз):
     • Движение в одну сторону по горизонтали: (m - 1) * a (где m-1 – это количество перемещений между губками, так как первой губкой она начинается с самой верхней линии).
     • Движение вниз: (m-1) * a.
   • Затем меняется направление:
     • Движение по горизонтали в обратную сторону: (m - 1) * a.
     • Движение вверх также: (m - 1) * a.

4. Общая длина:

   • Судя по описанным перемещениям, общее расстояние составит: \[ L = 4 \times (m - 1) \times a \]
   • Считаем m, где m = n/a, и подставляем:

\[ L = 4 \times \left(\frac{n}{a} - 1\right) \times a \]

Упрощая эту формулу, получаем:

\[ L = 4 \times (n - a) \]

Таким образом, длина ломаной линии, которую описывает верхний левый угол губки при очищении квадратной доски, рассчитывается по формуле \(L = 4(n - a)\).

Вывод: Не забудьте, что ответ может превышать 32-битный тип и лучше использовать 64-битные переменные.

Пример: Для n = 10 и a = 2: \[ L = 4 \times (10 - 2) = 4 \times 8 = 32 \]

Теперь вы можете использовать эту формулу для вычисления длины для любых значений n и a, заданных в условиях задачи!