Периметр прямоугольника треугольника равен 84 см а его гипотенуза равна 37 см найдите площадь этого треугольника алгебра 9 класс простое и понятное решение с объяснением, пожалуйста
Чтобы найти площадь треугольника, нам нужно использовать известные данные: периметр и гипотенузу. Давайте разберемся шаг за шагом.
Давайте обозначим стороны треугольника:
- Гипотенуза \( c = 37 \) см.
- Две другие стороны обозначим как \( a \) и \( b \).
Периметр треугольника: Формула для периметра треугольника:
\[ P = a + b + c \] Подставим известные значения: \[ 84 = a + b + 37 \] Упростим это уравнение: \[ a + b = 84 - 37 = 47 \]Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ a + b = 47 \quad (1) \] \[ a^2 + b^2 = c^2 \quad (2), \text{ где } c=37 \] Подставим \( c \): \[ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369 \quad (3) \]
Используем уравнение (1) для выражения \( b \): Из уравнения (1) выражаем \( b \): \[ b = 47 - a \]
Подставим \( b \) в уравнение (3): \[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (47^2 - 94a + a^2) = 1369 \] Упростим это: \[ 2a^2 - 94a + 2209 = 1369 \] Далее перенесем 1369 влево: \[ 2a^2 - 94a + 840 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Упростим его, деля все на 2: \[ a^2 - 47a + 420 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 2209 - 1680 = 529 \] Так как дискриминант положительный, найдем корни: \[ a = \frac{47 \pm \sqrt{529}}{2} \] Находим \(\sqrt{529} = 23\): \[ a = \frac{47 \pm 23}{2} \] Получаем два значения: \[ a_1 = \frac{70}{2} = 35 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{24}{2} = 12 \]
Найдём \( b \): Если \( a = 35 \), то \( b = 47 - 35 = 12 \).
Если \( a = 12 \), то \( b = 47 - 12 = 35 \).
В любом случае, стороны треугольника: \( a = 35 \), \( b = 12 \).Теперь найдём площадь треугольника: Для нахождения площади треугольника используем формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{420}{2} = 210 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь треугольника составляет 210 см².
