Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше ее числителя. Если из чеслителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшиться на одну шестую. найдите эту дробь
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим числитель дроби как \( x \), тогда знаменатель будет \( x + 6 \) (по условию задачи, знаменатель на 6 больше числителя). Таким образом, саму дробь можно записать как:
\[ \frac{x}{x + 6} \]
Теперь рассмотрим вторую часть задачи: если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, дробь уменьшается на одну шестую. Запишем это условие математически:
\[ \frac{x - 2}{(x + 6) + 2} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \]
Упростим левую часть уравнения:
\[ \frac{x - 2}{x + 8} \]
Теперь имеем:
\[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \]
Находим общий знаменатель для правой части:
\[ \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} = \frac{6x - (x + 6)}{6(x + 6)} = \frac{6x - x - 6}{6(x + 6)} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)} \]
Теперь приравняем обе стороны:
\[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)} \]
Перекрёстно перемножаем:
\[ 6(x - 2)(x + 6) = (5x - 6)(x + 8) \]
Раскроем скобки:
Слева:
\[ 6(x^2 + 6x - 2x - 12) = 6(x^2 + 4x - 12) = 6x^2 + 24x - 72 \]
Справа:
\[ 5x^2 + 40x - 6x - 48 = 5x^2 + 34x - 48 \]
Теперь приравняем два выражения:
\[ 6x^2 + 24x - 72 = 5x^2 + 34x - 48 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 6x^2 - 5x^2 + 24x - 34x - 72 + 48 = 0 \]
Упрощаем:
\[ x^2 - 10x - 24 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с использованием формулы. Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 14}{2} \]
Получаем два значения:
- \( x_1 = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \) (отрицательное значение не подходит, так как числитель дроби не может быть отрицательным)
Таким образом, \( x = 12 \). Теперь можем найти знаменатель:
\[ 12 + 6 = 18 \]
Итак, искомая дробь:
\[ \frac{12}{18} \]
Упрощаем дробь:
\[ \frac{2}{3} \]
Ответ: дробь равна \( \frac{2}{3} \).
