Построение и исследование квадратичной функции 1. y=x²-6x

Построение и исследование квадратичной функции – это интересная задача, которая поможет лучше понять геометрию и поведение параболы. Давайте разберем функцию \( y = x^2 - 6x \).

1. Основные характеристики функции

Функция \( y = x^2 - 6x \) представлена в стандартной форме квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 0 \).

2. Вершина параболы

Для нахождения вершины параболы используем формулу: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \] Подставляем значения \( a \) и \( b \): \[ x_{в} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \] Теперь подставим это значение обратно в функцию, чтобы найти координату \( y \): \[ y_{в} = (3)^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3, -9) \).

3. Ось симметрии

Ось симметрии проходит через вершину и имеет уравнение: \[ x = 3 \]

4. Нахождение корней

Чтобы найти корни уравнения \( y = 0 \), приравняем функцию к нулю: \[ x^2 - 6x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(x - 6) = 0 \] Таким образом, корни: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 6 \]

5. Направление параболы

Так как коэффициент \( a \) положителен (\( a = 1 > 0 \)), парабола открыта вверх.

6. Таблица значений

Можно построить таблицу значений, чтобы хорошо увидеть поведение функции: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & -5 \\ 2 & -8 \\ 3 & -9 \\ 4 & -8 \\ 5 & -5 \\ 6 & 0 \\ \hline \end{array} \]

7. График функции

Теперь, основываясь на вышеуказанных характеристиках (вершина, корни, значения из таблицы), можно построить график функции. Он будет представлять собой параболу, которая достигает своего минимума в точке \( (3, -9) \) и пересекает ось \( x \) в точках \( (0, 0) \) и \( (6, 0) \).

Эти шаги помогут вам не только построить график функции, но и лучше понять её поведение. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам математики, не стесняйтесь спрашивать!