Lg(x^2 - 8)=lg (2-9x)

Чтобы решить уравнение \( \lg(x^2 - 8) = \lg(2 - 9x) \), мы можем воспользоваться свойством логарифмов, согласно которому если \( \lg(a) = \lg(b) \), то \( a = b \) (при условии, что \( a \) и \( b \) положительны).

Следовательно, нам нужно решить уравнение:

\[ x^2 - 8 = 2 - 9x. \]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ x^2 + 9x - 10 = 0. \]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение. Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = 9 \), \( c = -10 \).

Сначала найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121. \]

Теперь подставим значения в формулу для корней:

\[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm 11}{2}. \]

Это даст два решения:

1. \( x = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1, \)
2. \( x = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10. \)

Теперь нам необходимо проверить, допустимы ли найденные корни в исходных логарифмических выражениях, чтобы избежать получения отрицательных аргументов.

Для \( x = 1 \):

• \( x^2 - 8 = 1^2 - 8 = 1 - 8 = -7 \) (недопустимо, так как аргумент логарифма должен быть положительным).

Для \( x = -10 \):

• \( x^2 - 8 = (-10)^2 - 8 = 100 - 8 = 92 \) (допустимо, положительное значение),
• \( 2 - 9(-10) = 2 + 90 = 92 \) (также положительное значение).

Таким образом, единственным допустимым решением является \( x = -10 \).

Ответ: \( x = -10 \).