Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Для решения задачи о треугольнике, где две стороны равны 6 см и 8 см, а угол между ними составляет 60°, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны и формулу для площади.

1. Поиск третьей стороны:

По теореме косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Где:

• \( c \) — третья сторона,
• \( a = 6 \) см (первая сторона),
• \( b = 8 \) см (вторая сторона),
• \( C = 60^\circ \) (угол между сторонами).

Теперь подставим значения в формулу: \[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \]

Значение \( \cos(60^\circ) = 0.5 \), следовательно: \[ c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0.5 \] \[ c^2 = 36 + 64 - 48 \] \[ c^2 = 52 \] \[ c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21 \text{ см} \]

2. Поиск площади треугольника:

Площадь \( S \) треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

Где \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см}^2 \]

Ответ:

Третья сторона треугольника составляет \( 2\sqrt{13} \) см (примерно 7.21 см), а его площадь равна \( 12\sqrt{3} \) см² (примерно 20.78 см²).