Найти производную функции 2) y = (1 - x² )arсsinx 3) y= (2arsinx-√1 -x² )⁵ 4)x=y + arcctgy 5) y' - ? x= arccos³ t, y = sin³ t 6) x -?y=arcsin(e3)7)x-e'arctgx ln3 x
Давайте рассмотрим, как найти производные для каждой из предложенных функций.
- Для функции \( y = (1 - x^2) \arcsin x \), используем правило произведения. Обозначим \( u = 1 - x^2 \) и \( v = \arcsin x \). Тогда производная будет:
\[ y' = u'v + uv' \]
Где:
- \( u' = -2x \)
- \( v' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
Подставим:
\[ y' = (-2x) \arcsin x + (1 - x^2) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]
Упрощаем:
\[ y' = -2x \arcsin x + \frac{1 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \]
- Для функции \( y = (2 \arcsin x - \sqrt{1 - x^2})^5 \), используем правило цепочки. Обозначим \( z = 2 \arcsin x - \sqrt{1 - x^2} \), тогда \( y = z^5 \).
Первый шаг — найти производную \( z' \):
\[ z' = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \]
Теперь применим правило цепочки:
\[ y' = 5z^4 \cdot z' \]
После подстановки \( z \):
\[ y' = 5(2 \arcsin x - \sqrt{1 - x^2})^4 \left(2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \]
- Для функции \( x = y + \text{arcctg} y \), находим производную, используя неявное дифференцирование:
\[ \frac{dx}{dy} = 1 + \frac{d}{dy}(\text{arcctg} y) = 1 - \frac{1}{1 + y^2} \]
Теперь находим \( y' = \frac{dx}{dy}^{-1} \):
\[ y' = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + y^2}} = \frac{1 + y^2}{y^2} \]
- Для функции \( y' \) в зависимости от \( x = \arccos^3 t \) и \( y = \sin^3 t \):
Где:
- \( x = u^3 \) с \( u = \arccos t \), значит \( x' = 3u^2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}) \)
- \( y = \sin^3 t \), значит \( y' = 3 \sin^2 t \cos t \)
Используя правило цепочки, можем выражать производную через параметр \( t \).
- Чтобы найти производную \( y = e^{\text{arcctg}(x)} \ln(3x) \), применим правила:
\[ y' = e^{\text{arcctg}(x)} \ln(3x) \cdot \frac{d}{dx}(\text{arcctg}(x)) + e^{\text{arcctg}(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(3x)) \]
Здесь потребуется знать, что \( \frac{d}{dx}(\text{arcctg}(x)) = -\frac{1}{1+x^2} \) и \( \frac{d}{dx}(\ln(3x)) = \frac{1}{x} \).
Следовательно, производная \( y' \) составит:
\[ y' = e^{\text{arcctg}(x)} \ln(3x) \left(-\frac{1}{1+x^2}\right) + e^{\text{arcctg}(x)} \cdot \frac{1}{x} \]
Таким образом, мы получили производные для всех предложенных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными примерами, не стесняйтесь задавать!
