Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь
Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, воспользуемся теоремой косинусов и формулой для площади треугольника.
- Нахождение третьей стороны. Согласно теореме косинусов, для треугольника со сторонами \( a \), \( b \) и углом \( C \) между ними выполняется следующее соотношение:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
Где:
- \( a = 6 \) см,
- \( b = 8 \) см,
- \( C = 60^\circ \),
- \( c \) — искомая третья сторона.
Теперь подставим значения:
\[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \]
Зная, что \( \cos(60^\circ) = 0.5 \):
\[ c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0.5 \]
Теперь вычислим:
\[ c^2 = 36 + 64 - 48 \] \[ c^2 = 52 \] \[ c = \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ см} \]
Таким образом, третья сторона \( c \) примерно равна 7.21 см.
- Нахождение площади треугольника. Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться формулой:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]
Где \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим известные значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Теперь вычислим:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь треугольника составляет примерно \( 20.78 \) см².
В итоге, третья сторона треугольника равна примерно \( 7.21 \) см, а его площадь составляет примерно \( 20.78 \) см².
