-14/x²+2x-15 < 0

Чтобы решить неравенство \(-\frac{14}{x^2 + 2x - 15} < 0\), сначала упростим выражение, с которым мы работаем.

1. Определение знаменателя: Найдем корни многочлена в знаменателе \(x^2 + 2x - 15\).

   Решим уравнение: \[ x^2 + 2x - 15 = 0 \]

   Используем формулу дискримината: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2} \]

   Это дает корни: \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -5 \]

   Таким образом, \(x^2 + 2x - 15\) можно разложить на множители: \[ (x - 3)(x + 5) \]

2. Записываем неравенство: Заменим знаменатель в нашем неравенстве: \[ -\frac{14}{(x - 3)(x + 5)} < 0 \]

   Умножим обе стороны на \(-1\) (при этом неравенство изменит знак): \[ \frac{14}{(x - 3)(x + 5)} > 0 \]

3. Анализируем знаки выражения: Мы должны найти, при каких значениях \(x\) дробь \(\frac{14}{(x - 3)(x + 5)}\) больше нуля.

   Для этого рассмотрим нули и знаки факторов:

   • \(x - 3 = 0\) при \(x = 3\) (знаменатель равен нулю).
   • \(x + 5 = 0\) при \(x = -5\) (знаменатель равен нулю).

   Знак продукта \((x - 3)(x + 5)\) будет зависеть от интервалов, которые образуют эти корни:

   • \(x < -5\)
   • \(-5 < x < 3\)
   • \(x > 3\)

   Теперь определим знаки в каждом интервале:

   • Для \(x < -5\) (например, \(x = -6\)): \((x - 3)(x + 5) > 0\)
   • Для \(-5 < x < 3\) (например, \(x = 0\)): \((x - 3)(x + 5) < 0\)
   • Для \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \((x - 3)(x + 5) > 0\)

4. Записываем ответ: Таким образом, \(\frac{14}{(x - 3)(x + 5)} > 0\) на интервалах: \[ (-\infty, -5) \cup (3, +\infty) \]

А поскольку в точках \(x = -5\) и \(x = 3\) дробь не определена, то финальный ответ:

\[ x \in (-\infty, -5) \cup (3, +\infty) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы о неравенствах или других математических темах, не стесняйтесь спрашивать!