Докажите что четырёхугольник mnpq является параллелограммом и найдите его диагонали если M11 N 6 и 1 П 7.4 Q 2.4
Чтобы доказать, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, нужно показать, что одна пара противоположных сторон равна и параллельна, либо что диагонали пересекаются и делят друг друга пополам.
Давайте обозначим координаты точек:
- \( M(1, 1) \)
- \( N(6, 1) \)
- \( P(7, 4) \)
- \( Q(2, 4) \)
Сначала определим векторы MN и PQ: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (6 - 1, 1 - 1) = (5, 0) \] \[ \overrightarrow{PQ} = Q - P = (2 - 7, 4 - 4) = (-5, 0) \]
Мы видим, что вектор \(\overrightarrow{MN}\) направлен вправо и равен длине 5, а вектор \(\overrightarrow{PQ}\) направлен влево и также равен длине 5. Это означает, что MN и PQ равны и параллельны.
Теперь определим векторы MP и NQ: \[ \overrightarrow{MP} = P - M = (7 - 1, 4 - 1) = (6, 3) \] \[ \overrightarrow{NQ} = Q - N = (2 - 6, 4 - 1) = (-4, 3) \]
Эти векторы не равны, но можем проверить, равны ли их длинны и параллельны ли:
- Длина \(\overrightarrow{MP} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}\).
- Длина \(\overrightarrow{NQ} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
Эти векторы также не являются равными, но это не обязательно, поскольку для доказательства параллелограмма достаточно, чтобы одна пара противолежащих сторон была равной и параллельной.
Таким образом, у нас есть:
- \(\overline{MN} \parallel \overline{PQ}\) и \(\overline{MP} \parallel \overline{NQ}\), что подтверждает, что MNPQ является параллелограммом.
Теперь найдем его диагонали:
Диагональ \(MP\): \[ \text{длина} \, MP = \sqrt{(7 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}. \]
Диагональ \(NQ\): \[ \text{длина} \, NQ = \sqrt{(2 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5. \]
Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, а его диагонали имеют длины \(\sqrt{45}\) и \(5\).
