Нужно найти косинус а , если тангенс а равен 3 известно что 0<а<π/2

Чтобы найти косинус угла \( a \) при заданном тангенсе, можно воспользоваться тригонометрической идентичностью. Мы знаем, что:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

В нашей задаче \( \tan a = 3 \). Это можно записать как:

\[ \frac{\sin a}{\cos a} = 3 \]

Теперь выразим \( \sin a \) через \( \cos a \):

\[ \sin a = 3 \cos a \]

Используя основное тригонометрическое соотношение:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Мы можем подставить выражение для \( \sin a \):

\[ (3 \cos a)^2 + \cos^2 a = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 9 \cos^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Сложим подобные:

\[ 10 \cos^2 a = 1 \]

Теперь решим это уравнение для \( \cos a \):

\[ \cos^2 a = \frac{1}{10} \]

И найдём \( \cos a \):

\[ \cos a = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad (\text{так как } 0 < a < \frac{\pi}{2, \text{ то } \cos a > 0}) \]

Преобразуем \( \sqrt{10} \):

\[ \cos a = \frac{\sqrt{10}}{10} \]

Таким образом, мы получили, что косинус угла \( a \) равен:

\[ \cos a = \frac{\sqrt{10}}{10} \]