Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллело граммом, и найдите его диагонали, если: a) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4)

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны равны.

1. Найдем длины сторон:

   • Сначала находим длины отрезков MN, NP, PQ и QM, используя формулу для расстояния между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

   • Для отрезка MN: \[ MN = \sqrt{(6 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{5^2} = 5 \]

   • Для отрезка NP: \[ NP = \sqrt{(7 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \]

   • Для отрезка PQ: \[ PQ = \sqrt{(2 - 7)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{(-5)^2} = 5 \]

   • Для отрезка QM: \[ QM = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} \]

2. Сравнение длин сторон:

   • У нас есть:
     • MN = 5 и PQ = 5 (противоположные стороны равны)
     • NP = \(\sqrt{10}\) и QM = \(\sqrt{10}\) (противоположные стороны равны)

Таким образом, поскольку оба параллельные отрезки равны, мы можем заключить, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом.

3. Найдем диагонали:

   • Теперь найдем длины диагоналей MP и NQ.

   • Для диагонали MP: \[ MP = \sqrt{(7 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

   • Для диагонали NQ: \[ NQ = \sqrt{(2 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Таким образом, диагонали параллелограмма MNPQ равны \(3\sqrt{5}\) и \(5\).

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!