Типы связи в данных словосочетаниях можно определить следующим образом:
лужайка у дома – это словосочетание характеризуется предложной связью. Здесь "у дома" уточняет, где находится лужайка.
заказать художнику – в данном случае связь дательный падеж. "Художнику" отвечает на вопрос "кому?" и указывает, для кого осуществляется действие.
о счастливом случае – это словосочетание имеет связь предложного падежа. "О счастливом случае" указывает на тему разговора или мысли.
устойчивое выражение – здесь мы видим именительный падеж в сочетании двух существительных, где "устойчивое" описывает "выражение".
встать пораньше – связь в этом словосочетании является инфинитивной. "Встать" описывает действие, а "пораньше" уточняет, когда именно.
рыбы плавают – это словосочетание представляет собой субъектно-объектную связь, где "рыбы" – подлежащее, а "плавают" – сказуемое.
самолёт взлетает – аналогично предыдущему примеру, здесь также имеется субъектно-объектная связь ("самолёт" – подлежащее, "взлетает" – сказуемое).
её песня – в этом словосочетании присутствует прилагательная связь, где "её" уточняет, чья песня.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то подробнее, не стесняйтесь спрашивать!