Предприимчивый мастер Правша делает штуковины. Затраты мастера на производство первой штуковины составляют 2000 рублей, а доход от её продажи равен 3000 рублей. Производство каждой следующей штуковины обходится на 10 рублей меньше предыдущей, а доход от её продажи на 20 рублей меньше предыдущей. Какую максимальную прибыль может получить мастер Правша от изготовления штуковин?

Question 1

Задача Задача №1987248

А

Аноним

23 октября 2024 13:33 · публичный вопрос

А

Аноним 23 октября 2024 13:33

Предприимчивый мастер Правша делает штуковины. Затраты мастера на производство первой штуковины составляют 2000 рублей, а доход от её продажи равен 3000 рублей. Производство каждой следующей штуковины обходится на 10 рублей меньше предыдущей, а доход от её продажи на 20 рублей меньше предыдущей. Какую максимальную прибыль может получить мастер Правша от изготовления штуковин?

Answer

Чтобы определить максимальную прибыль, которую мастер Правша может получить от изготовления штуковин, рассмотрим, как изменяются затраты и доходы при производстве каждой следующей штуковины.

Первое изделие:
- Затраты: 2000 рублей
- Доход: 3000 рублей
- Прибыль: 3000 - 2000 = 1000 рублей
Второе изделие:
- Затраты: 2000 - 10 = 1990 рублей
- Доход: 3000 - 20 = 2980 рублей
- Прибыль: 2980 - 1990 = 990 рублей
Третье изделие:
- Затраты: 1990 - 10 = 1980 рублей
- Доход: 2980 - 20 = 2960 рублей
- Прибыль: 2960 - 1980 = 980 рублей
Четвёртое изделие:
- Затраты: 1980 - 10 = 1970 рублей
- Доход: 2960 - 20 = 2940 рублей
- Прибыль: 2940 - 1970 = 970 рублей

Таким образом, видно, что с каждым новым изделием прибыль уменьшается на 10 рублей.

Теперь обозначим количество произведенных изделий как \( n \).

Затраты для \( n \)-го изделия: 2000 - 10(n-1)
Доход для \( n \)-го изделия: 3000 - 20(n-1)

Прибыль для \( n \)-го изделия будет равна: \[ P(n) = (3000 - 20(n-1)) - (2000 - 10(n-1)) \] Упростим это выражение: \[ P(n) = 3000 - 20n + 20 - 2000 + 10n - 10 = 1000 - 10n + 10 = 1010 - 10n \]

Теперь мы хотим найти значение \( n \), при котором прибыль становится равной нулю: \[ 1010 - 10n = 0 \] Решим это уравнение: \[ 10n = 1010 \] \[ n = 101 \]

При \( n = 101 \) прибыль равна 0, следовательно, максимальная прибыль достигается при \( n = 100 \):

Теперь подсчитаем общую прибыль от 100 изделий: \[ \text{Прибыль от 100 изделий} = \sum_{n=1}^{100} P(n) \]

Для \( n = 1 \) прибыль: 1000 рублей. Для \( n = 2 \) прибыль: 990 рублей. ... Для \( n = 100 \) прибыль: 10 рублей.

Таким образом, мы можем подсчитать общую прибыль с помощью формулы арифметической прогрессии: \[ S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] где \( n = 100 \), \( a_1 = 1000 \), а \( a_{100} = 10 \).

Подставляя значения, получим: \[ S = \frac{100}{2} (1000 + 10) = 50 \cdot 1010 = 50500 \text{ рублей}. \]

Таким образом, максимальная прибыль, которую может получить мастер Правша от изготовления штуковин, составляет 50500 рублей.

Question 2

Предприимчивый мастер Правша делает штуковины. Затраты мастера на производство первой штуковины составляют 2000 рублей, а доход от её продажи равен 3000 рублей. Производство каждой следующей штуковины обходится на 10 рублей меньше предыдущей, а доход от её продажи на 20 рублей меньше предыдущей. Какую максимальную прибыль может получить мастер Правша от изготовления штуковин?

Answer

Чтобы определить максимальную прибыль, которую мастер Правша может получить от изготовления штуковин, рассмотрим, как изменяются затраты и доходы при производстве каждой следующей штуковины. 1. **Первое изделие**: - Затраты: 2000 рублей - Доход: 3000 рублей - Прибыль: 3000 - 2000 = 1000 рублей 2. **Второе изделие**: - Затраты: 2000 - 10 = 1990 рублей - Доход: 3000 - 20 = 2980 рублей - Прибыль: 2980 - 1990 = 990 рублей 3. **Третье изделие**: - Затраты: 1990 - 10 = 1980 рублей - Доход: 2980 - 20 = 2960 рублей - Прибыль: 2960 - 1980 = 980 рублей 4. **Четвёртое изделие**: - Затраты: 1980 - 10 = 1970 рублей - Доход: 2960 - 20 = 2940 рублей - Прибыль: 2940 - 1970 = 970 рублей Таким образом, видно, что с каждым новым изделием прибыль уменьшается на 10 рублей. Теперь обозначим количество произведенных изделий как \( n \). - Затраты для \( n \)-го изделия: 2000 - 10(n-1) - Доход для \( n \)-го изделия: 3000 - 20(n-1) Прибыль для \( n \)-го изделия будет равна: \[ P(n) = (3000 - 20(n-1)) - (2000 - 10(n-1)) \] Упростим это выражение: \[ P(n) = 3000 - 20n + 20 - 2000 + 10n - 10 = 1000 - 10n + 10 = 1010 - 10n \] Теперь мы хотим найти значение \( n \), при котором прибыль становится равной нулю: \[ 1010 - 10n = 0 \] Решим это уравнение: \[ 10n = 1010 \] \[ n = 101 \] При \( n = 101 \) прибыль равна 0, следовательно, максимальная прибыль достигается при \( n = 100 \): Теперь подсчитаем общую прибыль от 100 изделий: \[ \text{Прибыль от 100 изделий} = \sum_{n=1}^{100} P(n) \] Для \( n = 1 \) прибыль: 1000 рублей. Для \( n = 2 \) прибыль: 990 рублей. ... Для \( n = 100 \) прибыль: 10 рублей. Таким образом, мы можем подсчитать общую прибыль с помощью формулы арифметической прогрессии: \[ S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] где \( n = 100 \), \( a_1 = 1000 \), а \( a_{100} = 10 \). Подставляя значения, получим: \[ S = \frac{100}{2} (1000 + 10) = 50 \cdot 1010 = 50500 \text{ рублей}. \] Таким образом, максимальная прибыль, которую может получить мастер Правша от изготовления штуковин, составляет **50500 рублей**.