На стороне параллелограмма ABCD,точка M делит сторону BC в отношении 3:4 выразить вектор AM и DM через вектора. a=AB и B=BC

Question 1

Задача Задача №1987601

А

Аноним

23 октября 2024 13:53 · публичный вопрос

А

Аноним 23 октября 2024 13:53

На стороне параллелограмма ABCD,точка M делит сторону BC в отношении 3:4 выразить вектор AM и DM через вектора. a=AB и B=BC

Answer

Для решения задачи, давайте сначала обозначим векторы:

Вектор \(\mathbf{a} = \overrightarrow{AB}\),
Вектор \(\mathbf{b} = \overrightarrow{BC}\).

Точка М делит сторону BC в отношении 3:4, это означает, что она делит отрезок BC на две части, где одна часть равна 3 частям, а другая - 4 частям. Таким образом, мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{MC}\).

Сначала найдем длину вектора \(\overrightarrow{BC}\) в виде двух частей, где \(BM = \frac{3}{3+4} \cdot BC = \frac{3}{7}\overrightarrow{BC}\) и \(MC = \frac{4}{3+4} \cdot BC = \frac{4}{7}\overrightarrow{BC}\).

Теперь выражаем векторы \(AM\) и \(DM\). Начнем с вектора \(\overrightarrow{AM}\):

\[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \mathbf{a} + \frac{3}{7}\mathbf{b}. \]

Теперь найдем вектор \(DM\). Для этого нам нужно выразить вектор \(D\). В параллелограмме \(D\) можно выразить через векторы \(A\) и \(B\):

\[ \overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A} + \mathbf{a} + \mathbf{b}. \]

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{DM}\) можно будет записать как:

\[ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD}. \]

Вектор \(\overrightarrow{AD}\) равен:

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \mathbf{a} + \mathbf{b}. \]

Таким образом, подставляем это в уравнение для \(\overrightarrow{DM}\):

\[ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} = \left(\mathbf{a} + \frac{3}{7}\mathbf{b}\right) - \left(\mathbf{a} + \mathbf{b}\right). \]

Сжимаем:

\[ \overrightarrow{DM} = \frac{3}{7}\mathbf{b} - \mathbf{b} = \frac{3}{7}\mathbf{b} - \frac{7}{7}\mathbf{b} = -\frac{4}{7}\mathbf{b}. \]

Итак, окончательно имеем:

\[ \overrightarrow{AM} = \mathbf{a} + \frac{3}{7}\mathbf{b}, \]

\[ \overrightarrow{DM} = -\frac{4}{7}\mathbf{b}. \]

Таким образом, векторы AM и DM выражаются через векторы AB и BC следующим образом.

Question 2

на стороне параллелограмма ABCD,точка M делит сторону BC в отношении 3:4 выразить вектор AM и DM через вектора. a=AB и B=BC

Answer

Для решения задачи, давайте сначала обозначим векторы: - Вектор \(\mathbf{a} = \overrightarrow{AB}\), - Вектор \(\mathbf{b} = \overrightarrow{BC}\). Точка М делит сторону BC в отношении 3:4, это означает, что она делит отрезок BC на две части, где одна часть равна 3 частям, а другая - 4 частям. Таким образом, мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{MC}\). Сначала найдем длину вектора \(\overrightarrow{BC}\) в виде двух частей, где \(BM = \frac{3}{3+4} \cdot BC = \frac{3}{7}\overrightarrow{BC}\) и \(MC = \frac{4}{3+4} \cdot BC = \frac{4}{7}\overrightarrow{BC}\). Теперь выражаем векторы \(AM\) и \(DM\). Начнем с вектора \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \mathbf{a} + \frac{3}{7}\mathbf{b}. \] Теперь найдем вектор \(DM\). Для этого нам нужно выразить вектор \(D\). В параллелограмме \(D\) можно выразить через векторы \(A\) и \(B\): \[ \overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A} + \mathbf{a} + \mathbf{b}. \] Таким образом, вектор \(\overrightarrow{DM}\) можно будет записать как: \[ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD}. \] Вектор \(\overrightarrow{AD}\) равен: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \mathbf{a} + \mathbf{b}. \] Таким образом, подставляем это в уравнение для \(\overrightarrow{DM}\): \[ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} = \left(\mathbf{a} + \frac{3}{7}\mathbf{b}\right) - \left(\mathbf{a} + \mathbf{b}\right). \] Сжимаем: \[ \overrightarrow{DM} = \frac{3}{7}\mathbf{b} - \mathbf{b} = \frac{3}{7}\mathbf{b} - \frac{7}{7}\mathbf{b} = -\frac{4}{7}\mathbf{b}. \] Итак, окончательно имеем: \[ \overrightarrow{AM} = \mathbf{a} + \frac{3}{7}\mathbf{b}, \] \[ \overrightarrow{DM} = -\frac{4}{7}\mathbf{b}. \] Таким образом, векторы AM и DM выражаются через векторы AB и BC следующим образом.