Баржа прошла по течению реки 88 км и повернув обратно, прошла ещё 72 км, затратив на весь путь 10 часов, найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км в час.
Для решения задачи сначала обозначим собственную скорость баржи как \( v \) км/ч. Тогда скорость баржи по течению будет \( v + 5 \) км/ч, а против течения — \( v - 5 \) км/ч.
Расчитаем время, затраченное на путь по течению. Баржа прошла 88 км по течению: \[ t_1 = \frac{88}{v + 5} \]
Расчитаем время, затраченное на путь против течения. После того как баржа вернулась, она прошла 72 км против течения: \[ t_2 = \frac{72}{v - 5} \]
Установим уравнение на основе общего времени. Общее время на весь путь составило 10 часов: \[ t_1 + t_2 = 10 \]
Подставляем найденные выражения: \[ \frac{88}{v + 5} + \frac{72}{v - 5} = 10 \]
Умножим уравнение на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей. Общий знаменатель будет \( (v + 5)(v - 5) \): \[ 88(v - 5) + 72(v + 5) = 10(v + 5)(v - 5) \]
Раскроем скобки: \[ 88v - 440 + 72v + 360 = 10(v^2 - 25) \]
Сложим левые части: \[ 160v - 80 = 10v^2 - 250 \]
Приведем все к одной стороне уравнения: \[ 10v^2 - 160v - 170 = 0 \]
Разделим уравнение на 10, чтобы упростить: \[ v^2 - 16v - 17 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324 \] Находим корни: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 18}{2} \]
Это даст нам два значения: \[ v_1 = \frac{34}{2} = 17 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Оставляя только положительное значение, мы получаем: \[ v = 17 \text{ км/ч} \]
Таким образом, собственная скорость баржи составляет 17 км/ч.
