5(х-6)(6х-5)(1-х)(3х+1)>0
Чтобы решить неравенство \( 5(x-6)(6x-5)(1-x)(3x+1) > 0 \), давайте начнем с анализа множителей.
Находим нули каждого множителя:
- \( x - 6 = 0 \) ⇒ \( x = 6 \)
- \( 6x - 5 = 0 \) ⇒ \( x = \frac{5}{6} \)
- \( 1 - x = 0 \) ⇒ \( x = 1 \)
- \( 3x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -\frac{1}{3} \)
Определяем точки, где выражение равно нулю: Нули у нас: \( x = -\frac{1}{3}, \frac{5}{6}, 1, 6 \).
Строим числовую прямую: Расставим найденные нули на числовой прямой: \[ -\infty \quad \quad -\frac{1}{3} \quad \quad \frac{5}{6} \quad \quad 1 \quad \quad 6 \quad \quad +\infty \]
Тестируем промежутки: Выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в неравенство:
Для \( x < -\frac{1}{3} \) (например, \( x = -1 \)): \[ 5(-1-6)(6(-1)-5)(1 - (-1))(3(-1)+1) = 5(-7)(-11)(2)(-2) < 0 \]
Для \( -\frac{1}{3} < x < \frac{5}{6} \) (например, \( x = 0 \)): \[ 5(0-6)(6(0)-5)(1-0)(3(0)+1) = 5(-6)(-5)(1)(1) > 0 \]
Для \( \frac{5}{6} < x < 1 \) (например, \( x = 0.9 \)): \[ 5(0.9-6)(6(0.9)-5)(1-0.9)(3(0.9)+1) = 5(-5.1)(0.4)(0.1)(3.7) < 0 \]
Для \( 1 < x < 6 \) (например, \( x = 2 \)): \[ 5(2-6)(6(2)-5)(1-2)(3(2)+1) = 5(-4)(7)(-1)(7) > 0 \]
Для \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \[ 5(7-6)(6(7)-5)(1-7)(3(7)+1) = 5(1)(37)(-6)(22) < 0 \]
Промежутки, где неравенство выполняется:
- \((-\frac{1}{3}, \frac{5}{6}) \)
- \((1, 6)\)
Записываем ответ: Неравенство выполняется для \( x \in (-\frac{1}{3}, \frac{5}{6}) \cup (1, 6) \).
Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь обращаться!
