Найти длину и направляющие косинусы вектора p=3a−5b+c если a=4i+7j+3k;b=i+2j+k;c=2i−3j−k.
Для начала найдем вектор \( p \) используя заданные векторы \( a \), \( b \) и \( c \):
Определение векторов:
- \( a = 4i + 7j + 3k \)
- \( b = i + 2j + k \)
- \( c = 2i - 3j - k \)
Подставляем в формулу: \[ p = 3a - 5b + c \]
Выполним умножение и сложение векторов:
- Сначала найдём \( 3a \): \[ 3a = 3(4i + 7j + 3k) = 12i + 21j + 9k \]
- Затем \( -5b \): \[ -5b = -5(i + 2j + k) = -5i - 10j - 5k \]
- Теперь составим \( p \): \[ p = (12i + 21j + 9k) + (-5i - 10j - 5k) + (2i - 3j - k) \]
- Сложим все компоненты: \[ p = (12 - 5 + 2)i + (21 - 10 - 3)j + (9 - 5 - 1)k \] \[ p = 9i + 8j + 3k \]
Теперь у нас есть вектор \( p = 9i + 8j + 3k \).
Находим длину вектора \( p \): Длину вектора можно найти по формуле: \[ |p| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] где \( x, y, z \) - компоненты вектора \( p \): \[ |p| = \sqrt{9^2 + 8^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 64 + 9} = \sqrt{154} \]
Находим направляющие косинусы вектора \( p \): Направляющие косинусы определяются как отношение каждой компоненты вектора к его длине: \[ \cos(\alpha) = \frac{x}{|p|}, \quad \cos(\beta) = \frac{y}{|p|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{z}{|p|} \] Таким образом: \[ \cos(\alpha) = \frac{9}{\sqrt{154}}, \quad \cos(\beta) = \frac{8}{\sqrt{154}}, \quad \cos(\gamma) = \frac{3}{\sqrt{154}} \]
Итак, итоговые результаты:
- Длина вектора \( p \): \( |p| = \sqrt{154} \)
- Направляющие косинусы:
- \( \cos(\alpha) = \frac{9}{\sqrt{154}} \)
- \( \cos(\beta) = \frac{8}{\sqrt{154}} \)
- \( \cos(\gamma) = \frac{3}{\sqrt{154}} \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите подробнее разобраться с какой-то темой, не стесняйтесь задавать!
