бернули dy/dx-2y/x+1=(x+1)²
Чтобы решить уравнение \(\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} + 1 = (x + 1)^2\), начнем с приведения его к стандартному виду.
Перепишем уравнение: \[ \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = (x + 1)^2 - 1 \] Упростим правую сторону: \[ (x + 1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = x^2 + 2x \]
Теперь это линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Для его решения найдем интегрирующий множитель. Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) вычисляется по формуле: \[ \mu(x) = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2\ln|x|} = |x|^{-2} \] Поскольку мы можем считать \(x\) положительным, мы просто используем \(x^{-2}\).
Умножим все уравнение на \(x^{-2}\): \[ x^{-2} \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = (x^2 + 2x) \cdot x^{-2} = 1 + \frac{2}{x} \] Это уравнение может быть записано как: \[ \frac{d}{dx}\left(y \cdot x^{-2}\right) = 1 + \frac{2}{x} \]
Теперь интегрируем обе стороны: \[ y \cdot x^{-2} = \int \left(1 + \frac{2}{x}\right)dx = x + 2\ln|x| + C \] Здесь \(C\) - произвольная константа интегрирования.
Переписываем выражение для \(y\): \[ y = (x + 2\ln|x| + C) \cdot x^{2} = x^{3} + 2x^{2} \ln|x| + Cx^{2} \]
Таким образом, общее решение вашего уравнения: \[ y = x^{3} + 2x^{2} \ln|x| + Cx^{2} \]
Если есть какие-либо дополнительные вопросы по этому решению или материалу, не стесняйтесь спрашивать!
