найти производную f(x)=⁶√x х нулевая=64

Чтобы найти производную функции \( f(x) = \sqrt[6]{x} \), начнем с того, что мы можем переписать эту функцию в виде:

\[ f(x) = x^{1/6} \]

Теперь мы используем правило дифференцирования степенной функции: если \( f(x) = x^n \), то \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \).

Для нашей функции это будет:

\[ f'(x) = \frac{1}{6} \cdot x^{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1}{6} \cdot x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}} \]

Теперь мы можем найти производную в точке \( x = 64 \). Подставим \( x = 64 \) в производную:

\[ f'(64) = \frac{1}{6\sqrt[6]{64^5}} \]

Сначала находим \( \sqrt[6]{64} \). Поскольку \( 64 = 2^6 \), то \( \sqrt[6]{64} = 2 \). Теперь вычислим \( 64^5 \):

\[ \sqrt[6]{64^5} = \sqrt[6]{(2^6)^5} = \sqrt[6]{2^{30}} = 2^{30/6} = 2^5 = 32 \]

Следовательно,

\[ f'(64) = \frac{1}{6 \cdot 32} = \frac{1}{192} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \sqrt[6]{x} \) в точке \( x = 64 \) равна \( \frac{1}{192} \).