Одна сторона треугольника 3 см, меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.
Для нахождения периметра треугольника, нужно вначале определить длину второй стороны. У нас есть первая сторона \( a = 3 \) см, третья сторона \( c = 7 \) см, и угол между ними \( \alpha = 60^\circ \).
Мы можем использовать закон косинусов, который гласит: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha) \] Где \( b \) — это вторая сторона, которую мы хотим найти.
Подставим известные значения: \[ 7^2 = 3^2 + b^2 - 2 \cdot 3 \cdot b \cdot \cos(60^\circ) \] Зная, что \( \cos(60^\circ) = 0.5 \), упростим уравнение: \[ 49 = 9 + b^2 - 3b \] Теперь переносим все элементы в одну сторону: \[ b^2 - 3b + 9 - 49 = 0 \] \[ b^2 - 3b - 40 = 0 \]
Чтобы решить это квадратное уравнение, мы используем формулу для нахождения корней: \[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \] Здесь \( A = 1, B = -3, C = -40 \): \[ b = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40)}}{2 \cdot 1} \] \[ b = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2} \] \[ b = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2} \] \[ b = \frac{3 \pm 13}{2} \]
Теперь находим два возможных значения для \( b \):
- \( b = \frac{16}{2} = 8 \) см
- \( b = \frac{-10}{2} = -5 \) см (отрицательная длина не подходит)
Таким образом, вторая сторона \( b = 8 \) см.
Теперь можем найти периметр треугольника: \[ P = a + b + c = 3 + 8 + 7 = 18 \text{ см} \]
Периметр треугольника равен \( 18 \) см.
