У Серёжи есть 30000 рублей. Ему доступны два вклада: вклад A со сложным процентом и вклад B с простым процентом, равным 11%, каждый сроком на три года. Найдите, чему должен быть равен сложный процент, чтобы сумма на вкладе А в конце срока была равна сумме на вкладе В. Ответ дайте в процентах и округлите до сотых.
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим формулы для простого и сложного процентов.
Для вклада с простым процентом B, формула вычисления суммы через 3 года будет следующей:
\( S_B = P \times (1 + r \times t) \),
где:
- \( S_B \) — итоговая сумма,
- \( P \) — первоначальная сумма (30000 рублей),
- \( r \) — процентная ставка (11% или 0.11),
- \( t \) — время в годах (3 года).
Подставим значения:
\( S_B = 30000 \times (1 + 0.11 \times 3) \).
\( S_B = 30000 \times (1 + 0.33) \).
\( S_B = 30000 \times 1.33 \).
\( S_B = 39900 \) рублей.
Теперь перейдем к вкладу A со сложным процентом. Формула для сложных процентов выглядит так:
\( S_A = P \times (1 + r_{с} )^t \),
где:
- \( S_A \) — итоговая сумма,
- \( r_{с} \) — процентная ставка (сложный процент, который нам нужно найти).
Мы знаем, что в конечном итоге суммы на обоих вкладах должны быть равны:
\( 30000 \times (1 + r_{с})^3 = 39900 \).
Теперь решим это уравнение.
Делим обе стороны на 30000:
\( (1 + r_{с})^3 = \frac{39900}{30000} \).
Это дает:
\( (1 + r_{с})^3 = 1.33 \).
Теперь извлекаем кубический корень из обеих сторон:
\( 1 + r_{с} = (1.33)^{1/3} \).
Вычислим \( (1.33)^{1/3} \):
Приблизительно:
\( (1.33)^{1/3} \approx 1.1005 \).
Теперь вычтем 1:
\( r_{с} ≈ 1.1005 - 1 = 0.1005 \).
Переведем это в процентное выражение:
\( r_{с} \approx 0.1005 \times 100\% \approx 10.05\% \).
Таким образом, сложный процент должен быть равен примерно 10.05%.
