найти первообразную f(x)=1/√42-3x

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3x}} \) давайте воспользуемся методом интегрирования.

Сначала преобразуем функцию для удобства. Мы можем заметить, что в знаменателе у нас находится выражение, которое можно упростить.

Итак, нам нужно найти: \[ \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3x}} \, dx \]

Для этого можем использовать замену переменной. Пусть \( u = 42 - 3x \). Тогда производная \( u \) по \( x \) равна \( du = -3 \, dx \), или, соответственно, \( dx = -\frac{1}{3} du \).

Подставляем это в интеграл: \[ \int \frac{1}{\sqrt{u}} \left(-\frac{1}{3} du\right) = -\frac{1}{3} \int u^{-1/2} \, du \]

Теперь вычислим интеграл: \[ -\frac{1}{3} \cdot \left(2u^{1/2}\right) + C = -\frac{2}{3} \sqrt{u} + C \]

Вернемся к исходной переменной, подставив \( u = 42 - 3x \): \[ -\frac{2}{3} \sqrt{42 - 3x} + C \]

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3x}} \) равна: \[ F(x) = -\frac{2}{3} \sqrt{42 - 3x} + C, \] где \( C \) - константа интегрирования.