1. Найдите координаты и длину вектора АВ, если А(13: -3), В (1; -3). 2. Напишите уравнение окружности с центром в точке С(2: 1), проходящей через точку D(5: 5), 3. Треугольник CDE задан координатами своих вершин: C(2; 2), D(6; 5), E(5; -2) a) Докажите, что ACDE - равнобедренный. б) Найдите биссектрису, проведенную из вершины С. 4. Найдите координаты точки А. лежашей на оси ординат и равноудаленной от точек В(1: -3) и С(2: 0).

Конечно! Давайте разберем каждый вопрос по порядку.

1. Найти координаты и длину вектора АВ, если А(13; -3), В(1; -3).

   Координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \) можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

   \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - 13; -3 - (-3)) = (-12; 0) \]

   Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) вычисляется по формуле:

   \[ ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12 \]

   Итак, вектор \( \overrightarrow{AB} \) имеет координаты (-12; 0) и длину 12.

2. Напишите уравнение окружности с центром в точке С(2; 1), проходящей через точку D(5; 5).

   Уравнение окружности имеет вид:

   \[ (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2 \]

   Сначала найдем радиус \( r \), который равен расстоянию от точки C до D:

   \[ r = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

   Теперь подставим значения в уравнение окружности:

   \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5^2 \]

   Уравнение окружности: \( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 \).

3. Треугольник CDE задан координатами своих вершин: C(2; 2), D(6; 5), E(5; -2).

   a) Докажите, что ACDE - равнобедренный.

   Для начала найдем длины сторон CD, CE и DE:

   \[ CD = \sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5, \] \[ CE = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \] \[ DE = \sqrt{(5 - 6)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \approx 7.07. \]

   Так как CD = CE = 5, то треугольник CDE является равнобедренным с равными сторонами CD и CE.

   b) Найдите биссектрису, проведенную из вершины C.

   Уравнение биссектрисы, проведенной из точки C, можно найти через угловую координату. Мы можем использовать формулу нахождения угловой координаты для векторов. Если биссектрису обозначить векторами v1 и v2 из точки C к D и E соответственно, то координаты биссектрисы можно найти, усреднив эти векторы, подобно тому как мы составляем веса.

   Однако более простой способ - это использовать метод расчета прямой с учетом равенства углов.

   Давайте просто проведем прямую от точки C к точке, располагающейся между D и E. Для этого находим среднюю точку между D и E:

   \[ M = \left( \frac{6 + 5}{2}; \frac{5 + (-2)}{2} \right) = \left( 5.5; 1.5 \right) \]

   Теперь, зная координаты C и M, можно записать уравнение биссектрисы с помощью точки и направления.

4. Найдите координаты точки A, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек B(1; -3) и C(2; 0).

   Поскольку точка A лежит на оси ординат, её координата x = 0. Пусть координаты A будут (0; y). Тогда расстояния от точек B и C до A должны быть равны:

   \[ \sqrt{(0 - 1)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - 0)^2} \]

   Возведем обе стороны в квадрат:

   \[ (0 - 1)^2 + (y + 3)^2 = (0 - 2)^2 + y^2, \] \[ 1 + (y + 3)^2 = 4 + y^2, \] \[ 1 + y^2 + 6y + 9 = 4 + y^2. \]

   Упрощая, получаем:

   \[ 10 + 6y = 4 \implies 6y = 4 - 10 \implies 6y = -6 \implies y = -1. \]

   Таким образом, координаты точки A: (0; -1).

Если возникнут дополнительные вопросы или нужны уточнения, всегда рады помочь!